Yếu tố tích hợp là gì? Xem xong 5 phút hiểu luôn.

Phương trình vi phân là gì?

Phương trình vi phân đóng một vai trò quan trọng trong Toán học. Đây là những phương trình nhất thiết phải liên quan đến đạo hàm. Có nhiều loại phương trình vi phân; chẳng hạn như – thuần nhất và không thuần nhất, tuyến tính và phi tuyến, thông thường và một phần . Phương trình vi phân có thể là bậc nhất, bậc hai và hơn thế nữa. N ^th phương trình để khác biệt là một phương trình liên quan đến đạo hàm thứ n. Phương trình vi phân phổ biến nhất mà chúng ta thường gặp là phương trình vi phân tuyến tính cấp một .

Các phương trình vi phân tuyến tính thông thường được biểu diễn dưới dạng tổng quát sau:

y ‘+ P y = Q

hoặc là

dy / dx + P (x) y = Q (x)

Trong đó y ‘hoặc dy / dx là đạo hàm cấp một. Ngoài ra, các hàm P và Q chỉ là các hàm của x.

Có hai phương pháp chủ yếu được sử dụng để giải phương trình vi phân tuyến tính bậc nhất:

• Phương pháp tách biệt
• Phương pháp nhân tố tích hợp

Trong bài này, chúng ta sẽ thảo luận về phương pháp nhân tử tích phân là gì và cách sử dụng nhân tử tích phân để giải phương trình vi phân cấp một và cấp hai.

Phương pháp nhân tố tích hợp

Hệ số tích phân được định nghĩa là hàm được chọn để giải phương trình vi phân đã cho. Nó được sử dụng phổ biến nhất trong phương trình vi phân tuyến tính thông thường của bậc một.

Khi phương trình vi phân đã cho có dạng;

dy / dx + P (x) y = Q (x)

thì hệ số tích phân được định nghĩa là;

Trong đó P (x) (hàm của x) là bội số của y và μ biểu thị hệ số tích phân.

Giải phương trình vi phân bậc nhất bằng cách sử dụng hệ số tích hợp

Dưới đây là các bước giải phương trình vi phân cấp một bằng hệ số tích phân.

• So sánh phương trình đã cho với dạng phương trình vi phân và tìm giá trị của P (x).
• Tính hệ số tích phân μ.
• Nhân phương trình vi phân với hệ số tích phân ở cả hai vế theo cách như vậy; μ dy / dx + μP (x) y = μQ (x)
• Bằng cách này, ở phía bên trái, chúng ta thu được một dạng vi phân cụ thể. Tức là d / dx (μ y) = μQ (x)
• Cuối cùng, chúng ta sẽ tích phân biểu thức này và nhận được nghiệm cần thiết cho phương trình đã cho: μ y = ∫μQ (x) dx + C

Giải phương trình vi phân bậc hai bằng cách sử dụng hệ số tích hợp

Phương trình vi phân cấp hai có thể được giải bằng phương pháp tích phân.

Cho phương trình vi phân đã cho là,

y ”+ P (x) y ‘= Q (x)

Phương trình bậc 2 dạng trên chỉ có thể giải được bằng cách sử dụng hệ số tích phân.

• Thay y ‘= u; để phương trình trở thành phương trình bậc nhất như hình vẽ: u ‘+ P (x) u = Q (x)
• Bây giờ, phương trình này có thể được giải bằng kỹ thuật tích phân như đã mô tả trong phần trên đối với phương trình bậc nhất và chúng ta đạt được phương trình: μ u = ∫μQ (x) dx + C
• Tìm giá trị của u từ phương trình này.

Vì u = y ‘, do đó để tìm giá trị của y, tích phân của phương trình. Bằng cách này, chúng tôi nhận được giải pháp cần thiết.

Ví dụ về nhân tố tích hợp

Thí dụ:

Giải phương trình vi phân sử dụng tích phân: (dy / dx) – (3y / x + 1) = (x + 1) ⁴

Giải pháp:

Cho: (dy / dx) – (3y / x + 1) = (x + 1) ⁴

Đầu tiên, hãy tìm hệ số tích phân:

μ = e ^{∫ p (x) dx}

μ = e ^{∫ (-3 / x + 1) dx}

∫ (-3 / x + 1) dx = -3 ln (x + 1) = ln (x + 1) ^-3

Do đó, chúng tôi nhận được

μ = e  ^{ln (x + 1) -3}

μ = 1 / (x + 1) ³

Bây giờ, nhân hệ số tích phân trên cả hai mặt của phương trình vi phân đã cho:

[1 / (x + 1) ³ ] [dy / dx] – [3y / ((x + 1) ⁴ )] = (x + 1)

Tích hợp cả hai mặt, chúng tôi nhận được:

[y / (x + 1) ³ ] = [(1/2) x ² + x + c]Ở đây, c là một hằng số

Do đó, giải pháp chung của biện pháp chênh lệch đã cho là

y = [(x + 1) ³ ] [(1/2) x ² + x + c].

• Sự khác biệt giữa Thử nghiệm và gỡ lỗi
• Video khóa học online
• Căn bậc hai của 144 là gì? Xem xong 5 phút hiểu luôn.