Chức năng phân tích, xem xong hiểu luôn.

Chức năng phân tích

Hàm phân tích được định nghĩa theo chuỗi hội tụ; xoay quanh một biến cụ thể x mà chuỗi đã được mở rộng. Hầu như tất cả các hàm mà chúng tôi thu được từ các phép toán đại số và số học cơ bản và các hàm siêu việt sơ cấp đều có thể giải tích được tại mọi điểm trên miền của chúng. Trong bài viết này, chúng ta hãy thảo luận chi tiết về hàm giải tích là gì, hàm phân tích thực và phức, các tính chất.

Hàm phân tích là gì?

Hàm Analytic được định nghĩa là một hàm vi phân vô hạn, trên một biến được gọi là x sao cho chuỗi Taylor mở rộng có thể được biểu diễn như cho dưới đây.

T( x ) =∑∞n = 0f( n )(x0)n !( x -x0)n

Điều này giải thích giá trị quá cao Taylor mở rộng Xo; hàm này được cho là một hàm phân tích cho giá trị x trong miền của nó, có một giá trị khác trong miền hội tụ chuỗi thành một điểm

Các loại chức năng phân tích

Hàm phân tích có thể được phân loại thành hai loại khác nhau, giống nhau về một số mặt, nhưng nó có một số đặc điểm khác nhau. Hai loại hàm phân tích là:

• Chức năng phân tích thực
• Chức năng phân tích phức tạp

Chức năng phân tích thực

Nếu một chuỗi đồng ý với chuỗi Taylor và có đạo hàm theo bậc khác nhau trên mọi điểm miền của nó thì chuỗi đó được cho là hàm giải tích thực.

Tf=∑k = 0∞( z- c)k2 πTôi∫γf( w )( w – c)k + 1dw

=12 πTôi∫γf( w )w – c∑∞k = 0(z- cw – c)kdw

=12 πTôi∫γf( w )w – c(11 -z- cw – c) dw

=12 πTôi∫γf( w )w – zdw = f( z)

Chức năng phân tích phức tạp

Một hàm được cho là giải tích trong miền T của mặt phẳng phức x nếu f (x) có đạo hàm tại mỗi và mọi điểm của x và f (x) có các giá trị duy nhất mà nó theo sau một hàm. ‘

Ví dụ này giải thích hàm giải tích trên mặt phẳng phức.

Để cho f: C→ Clà một hàm giải tích. Đối với z= x + i y, để cho u , v :R2 được như vậy u ( x , y) = R e f( z) và v ( x , y) = l mf( z). Điều nào sau đây là đúng?

∂2u∂2x+∂2u∂2y= 0

∂2v∂2x+∂2v∂2y= 0

∂2u∂x ∂y+∂2u∂y∂x= 0

∂2v∂x ∂y+∂2v∂y∂x= 0

Thuộc tính của hàm phân tích

Các tính chất cơ bản của hàm giải tích như sau:

• Giới hạn của một chuỗi các hàm giải tích hội tụ đồng nhất cũng là một hàm giải tích
• Nếu f (z) và g (z) là các hàm giải tích trên U, thì tổng f (z) + g (z) và tích f (z) .g (z) của chúng cũng là giải tích
• Nếu f (z) và g (z) là hai hàm giải tích và f (z) nằm trong miền của g với mọi z, thì tổng hợp g (f (z)) của chúng cũng là hàm giải tích.
• Hàm f (z) = 1 / z (z ≠ 0) là hàm giải tích
• Toàn bộ các hàm bị ràng buộc là các hàm không đổi
• Mọi đa thức không tùy biến p (z) đều có một gốc. Tức là tồn tại một số z ₀ sao cho p (z ₀ ) = 0.
• Nếu f (z) là một hàm giải tích, được xác định trên U, thì môđun của nó của hàm | f (z) | không thể đạt được mức tối đa ở U.
• Các số không của một hàm giải tích, giả sử f (z) là các điểm cô lập trừ khi f (z) giống hệt 0
• Nếu F (z) là một hàm giải tích và nếu C là một đường cong nối hai điểm z ₀ và z ₁ trong miền của f (z) thì ∫ _C F ‘(z) = F (z ₁ ) – F (z ₀ )
• Nếu f (z) là một hàm giải tích xác định trên đĩa D, thì có một hàm giải tích F (z) xác định trên D sao cho F ′ (z) = f (z), được gọi là một nguyên hàm của f (z), và, theo hệ quả, ∫ _C  f (z) dz = 0; đối với bất kỳ đường cong đóng C nào trong D.
• Nếu f (z) là một hàm giải tích và nếu z0 là một điểm bất kỳ trong miền U của f (z), thì hàm [f (z) -f (z ₀ )] / [z – z ₀ ] là giải tích trên cả U nữa.
• Nếu f (z) là một hàm giải tích trên đĩa D, z ₀ là một điểm bên trong D, C là một đường cong kín không đi qua z ₀ thì W = (C, z ₀ ) f (z ₀ ) = (1 / 2π i) ∫ _C  [f (z)] / [z – z ₀ ] dz, trong đó W (C; z ₀ ) là số cuộn dây của C xung quanh z

Xem thêm bài viết:

• Lập trình tuyến tính cho lớp 12 là gì? Xem xong 5 phút hiểu luôn.
• Sự khác biệt giữa tính chất chuyên sâu và mở rộng dễ hiểu
• Sự khác biệt giữa sợi tự nhiên và tổng hợp chuẩn nhất