ax2+ b x + c = 0, Ở đâu a , b a n d c là những con số thực như vậy a ≠ 0 và x là một biến.
Số nghiệm của phương trình đa thức bằng bậc của nó. Vì vậy, một phương trình bậc hai có hai nghiệm. Một số phương pháp để tìm rễ là:
- Phương pháp thừa số
- Công thức phương trình bậc hai
- Hoàn thành phương pháp bình phương
Tất cả các phương trình bậc hai có nghiệm nguyên đều có thể được nhân tử hóa. Ý nghĩa vật lý của gốc là ở gốc của một phương trình, đồ thị của phương trình cắt trục x . Trục x đại diện cho đường thực trong mặt phẳng Descartes. Điều này có nghĩa là nếu phương trình có nghiệm nguyên không có thực, nó sẽ không giao với trục x và do đó nó không thể được viết dưới dạng phân tích nhân tử. Bây giờ chúng ta hãy tiếp tục và tìm hiểu cách xác định xem một phương trình bậc hai sẽ có nghiệm nguyên hay không.
Bản chất của rễ của phương trình bậc hai:
Trước khi đi trước, có một thuật ngữ phải được hiểu. Xem xét phương trình
ax2+ b x + c = 0
Đối với phương trình trên, nghiệm nguyên được cho bởi công thức bậc hai là
x = – b ± √ (b2– 4 a c )2 a
Hãy để chúng tôi lấy một con số thực k > 0. Bây giờ, chúng tôi biết rằng√ k được xác định và là một đại lượng dương.
Là √ – kmột số thực? Câu trả lời là không. Ví dụ: nếu chúng ta có√ 225, chúng ta có thể viết nó là √ ( 15 × 15 ) bằng 15.
Nếu chúng ta có √ – 225, chúng ta không bao giờ có thể viết nó dưới dạng tích của hai đại lượng bằng nhau. Điều này là do nó chứa một dấu trừ mà chỉ có thể là kết quả của tích của hai đại lượng có dấu đối nhau.
Đại lượng dưới căn bậc hai trong biểu thức cho căn là b2– 4 a c. Đại lượng này được gọi là phân biệt của phương trình bậc hai. Đây là đại lượng phân biệt các phương trình bậc hai có nghiệm nguyên khác nhau. Điều này được đại diện bởi D. Vì vậy,
D = b2– 4 a c
Theo nghĩa của D, các gốc có thể được viết là:
x = – b ± √ D2 a ——————————— (1)
Bây giờ, D là một số thực vì a, b và c là các số thực . Tùy thuộc vào dải a, dải c, giá trị của D có thể là dương, âm hoặc bằng không. Hãy để chúng tôi phân tích tất cả các khả năng và xem nó ảnh hưởng như thế nào đến gốc của phương trình.
-
- D> 0: Khi D dương, phương trình sẽ có hai nghiệm thực và nghiệm phân biệt. Điều này có nghĩa là đồ thị của phương trình sẽ cắt trục x tại đúng hai điểm khác nhau.Rễ là:
x = – b + √ D2 a o r – b – √ D2 a
- D> 0: Khi D dương, phương trình sẽ có hai nghiệm thực và nghiệm phân biệt. Điều này có nghĩa là đồ thị của phương trình sẽ cắt trục x tại đúng hai điểm khác nhau.Rễ là:
- D = 0: Khi D bằng 0, phương trình sẽ có hai nghiệm thực và nghiệm bằng nhau. Điều này có nghĩa là đồ thị của phương trình sẽ cắt trục x tại đúng một điểm. Có thể dễ dàng xác định các gốc từ phương trình 1 bằng cách đặt D = 0. Rễ là:
x = –b2 a o r – b2 a
- D <0: Khi D âm, phương trình sẽ không có nghiệm nguyên. Điều này có nghĩa là đồ thị của phương trình sẽ không cắt trục x .
Các ví dụ đã giải quyết
Ví dụ 1: x2+ 5 x + 6 = 0
D = b2– 4 a c
D = 52 – 4 × 1 × 6 = 25 – 24 = 1
Vì D> 0 nên phương trình sẽ có hai nghiệm thực và nghiệm phân biệt. Rễ là:
x = – b + √ D2 a hoặc là – b – √ D2 a
x = – 5 + √ 12 × 1 hoặc là – 5 – √ 12 × 1
x = – 2 hoặc là – 3
Ví dụ 2: x2+ x + 1 = 0
D = b2– 4 a c
D = 12– 4 × 1 × 1 = 1 – 4 = – 3
Vì D <0 nên phương trình sẽ có hai nghiệm phức phân biệt. Rễ là:
x = – b + √ D2 a hoặc là – b – √ D2 a
x= – 1 +– 3√2 × 1 hoặc là – 1 –– 3√2 × 1
x= – 1 +3√Tôi2 hoặc là – 1 –3√Tôi2
Ví dụ 3: 4x2+ 12 x + 9 = 0
D = b2– 4 a c
D = 122– 4 × 4 × 9 = 144 – 144 = 0
Vì D = 0 nên phương trình sẽ có hai nghiệm thực bằng nhau. Rễ là:
x = +b2 a hoặc là –b2 a
x = +122 × 4 hoặc là –122 × 4
x = +32 hoặc là –32
