Về mặt hình học, môđun của một số phức với = x + tôi y là khoảng cách giữa điểm tương ứng của với cái nào là ( x , y) và nguồn gốc ( 0 , 0 ) trong mặt phẳng argand.
Trong hình trên, O P bằng khoảng cách giữa điểm ( x , y) và nguồn gốc ( 0 , 0 ) trong mặt phẳng argand.
Vì thế,
| với| = O P = x2+Y2––––––√
Ví dụ: Tìm giá trị của b nếu môđun của số phức, với = 3 + tôi b bằng 5.
| với| = 32 + b2–––––––√
32 + b2–––––––√ = 5
9 + b2 = 25
b2 = 25 – 9 = 16
b =± 4
Vì thế, với có thể 3 + 4 tôi hoặc là 3 – 4 tôi .
Từ ví dụ trên, chúng ta có thể kết luận rằng các số phức với1 = x + tôi y , với2 = x – tôi y ,
với3 = – x + i y , với4 = – x – tôi y sẽ có cùng một mô-đun bằng x2 + Y2–––––––√. Đó là vì các điểm tương ứng với bốn số phức trên( x , y), ( x , – y), ( – x , y) và ( – x , – y) tương ứng là ở một khoảng cách x2 + Y2–––––––√ xa nguồn gốc.
Hợp của một số phức
Hợp của một số phức với = x + tôi y Là x – tôi y và được biểu thị là với¯¯¯.
Ví dụ, liên hợp của số phức với = 3 – 4 tôi Là 3 + 4 tôi .
- Xem xét số phức với = a + i b ,
- với + với¯¯¯ = a + i b + ( a – i b ) = 2 a là một số phức có phần ảo bằng 0.
- R e ( z + với¯¯¯) = 2 a, Tôim ( z + với¯¯¯) = 0
- với – với¯¯¯ = a + i b – ( a – i b ) = 2 b tôi
- R e ( z – với¯¯¯) = 0, Tôim ( z – với¯¯¯) = 2 b
- Về mặt hình học, phản ánh của số phức với = x + tôi y trong X trục là tọa độ của với¯¯¯.
- Môđun của số phức và liên hợp của nó sẽ bằng nhau.
- Nghịch đảo nhân của số phức khác 0 với = a + i b Là
với– 1 = 1a + i b = a – i b a2 + b2
Từ,a – i b = với¯¯¯ và a2 + b2 = | với|2
với– 1 = với| với|2
vớivới¯¯¯ = | với|2
Ví dụ: Tìm nghịch đảo nhân của với = 6 + 8 tôi
với– 1 = với¯¯¯| với|2
với¯¯¯= 6 – 8 tôivà | z | =62+số 82––––––√
= 100–––√ = 10
với– 1 = 6 – 8 tôi 100 = 3 – 4 tôi50 = 350–225Tôi
Đối với hai số phức bất kỳ với1 và với2,
- |với1với2| = |với1| |với2|
Để cho với1 = a + i b và với2 = c + tôi d ,
|với1| = a2 + b2–––––––√ – (1)
|với2| = c2 + d2–––––––√ – (2)
với1với2 = ( Đ c – b d ) + ( b c + a d ) tôi
|với1với2| = ( Đ c – b d )2 + ( b c + a d )––––––––––––––––––––√
|với1với2|2 =( Đ c – b d )2 + ( b c + a d )2
= a2c2 + b2d2 – 2 a b c d + b2c2 + a2d2 + 2 a b c d
= a2c2 + b2d2 + b2c2 + a2d2
=a2(c2 + d2) + b2(c2 + d2)
=(a2 + b2) (c2 + d2) – (3)
Từ (1) và (2),
|với1|2|với2|2 = (a2 + b2) (c2 + d2) -(4)
Vì, (3) = (4);|với1với2| = |với1| |với2|
- Tương tự với1 và với2, |với1với2|= |với1||với2| , miễn là với2 là một số phức khác 0.
- với1với2¯¯¯¯¯¯¯¯¯ = với1¯¯¯¯¯với2¯¯¯¯¯
- với1 ± với2¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ = với1¯¯¯¯¯ ± với2¯¯¯¯¯
- (với1với2)¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ = với1¯¯¯¯¯với2¯¯¯¯¯, miễn là với2 là một số phức khác 0.
Danh tính của các số phức
Đối với hai số phức bất kỳ với1 và với2,
- (với1 + với2)2 = với21 + với22 + 2với1với2
Chúng ta có thể chứng minh sự đồng nhất trên bằng cách sử dụng các tính chất của số phức.
(với1 + với2)2 = (với1 + với2)(với1 + với2)
Bằng cách sử dụng luật phân phối,
(với1 + với2)(với1 + với2) = với1(với1 + với2) + với2(với1 + với2)
= với21 +với1với2 +với2với1 + với22– (1)
Bằng cách sử dụng luật giao hoán, với1với2 = với2với1
Khi đó (1) sẽ trở thành,
- (với1 + với2)2 = với21 + với22 + 2 với1với2
- (với1 – với2)2 = với21 + với22 – 2 với1với2
- (với1 + với2)3 = với31 + 3 với21với2 + 3 với1với22 + với31
- (với1 – với2)3 = với31 – 3 với21với2 + 3 với1với22 – với31
- với21 – với22 = (với1 + với2) (với1 – với2)<
