Các phương trình tuyến tính là gì? Xem xong 5 phút hiểu luôn.

Phương trình tuyến tính cũng là phương trình bậc nhất vì nó có số mũ cao nhất của các biến là 1.

Ví dụ:

• 2x – 3 = 0,
• 2y = 8
•  m + 1 = 0,
•  x / 2 = 3
•  x + y = 2
• 3x – y + z = 3

Khi phương trình có một biến thuần nhất (tức là chỉ có một biến), thì loại phương trình này được gọi là phương trình tuyến tính trong một biến . Nói cách khác, phương trình đường thẳng đạt được bằng cách liên hệ 0 với một đa thức tuyến tính trên bất kỳ trường nào, từ đó thu được các hệ số.

Các nghiệm của phương trình tuyến tính sẽ tạo ra các giá trị mà khi được thay thế cho các giá trị chưa biết, phương trình sẽ đúng. Trong trường hợp một biến, chỉ có một nghiệm, chẳng hạn như x + 2 = 0. Nhưng trong trường hợp của phương trình tuyến tính hai biến, các nghiệm được tính như tọa độ Descartes của một điểm thuộc mặt phẳng Euclide.

Định nghĩa

Định nghĩa phương trình tuyến tính là gì và cho ví dụ? Phương trình có bậc lớn nhất là 1 được gọi là phương trình tuyến tính.

Dưới đây là một số ví dụ về phương trình tuyến tính trong 1 biến, 2 biến và 3 biến:

Phương trình của một đường

Phương trình của một đường thẳng được cho bởi:

y = mx + b

Trong đó m là hệ số góc của đường thẳng,

b là điểm chặn y

x và y lần lượt là tọa độ của trục x và trục y.

Nếu một đường thẳng song song với trục x thì tọa độ x sẽ bằng không. Vì thế,

y = b

Nếu đường thẳng song song với trục y thì tọa độ y sẽ bằng không.

mx + b = 0

x = -b / m

Độ dốc: Độ dốc của đường thẳng bằng tỷ lệ giữa sự thay đổi của tọa độ y và sự thay đổi trong tọa độ x. Nó có thể được đánh giá bằng:

m = (y ₂ -y ₁ ) / (x ₂ -x ₁ )

Vì vậy, về cơ bản độ dốc cho thấy sự gia tăng của đường trong mặt phẳng cùng với khoảng cách được bao phủ trong trục x. Độ dốc của đường còn được gọi là gradient.

Công thức

Có nhiều dạng khác nhau để viết phương trình tuyến tính. Một số trong số đó là:

Trong đó m = hệ số góc của đường thẳng; (x ₀ , y ₀ ) giao điểm của trục x và trục y.

Các dạng của phương trình tuyến tính

Có nhiều dạng mà qua đó một đường thẳng được xác định trong một mặt phẳng XY. Một số dạng phổ biến được sử dụng ở đây để giải phương trình tuyến tính là:

• Hình thức chung
• Hình thức đánh chặn dốc
• Dạng điểm
• Biểu mẫu đánh chặn
• Dạng hai điểm

Dạng chuẩn của phương trình tuyến tính

Phương trình tuyến tính là sự kết hợp của hằng và biến.
Dạng chuẩn của phương trình tuyến tính trong một biến được biểu diễn dưới dạng ax + b = 0 trong đó, a ≠ 0 và x là biến.
Dạng chuẩn của một phương trình tuyến tính trong hai biến được biểu diễn dưới dạng

Dạng chuẩn của một phương trình tuyến tính trong ba biến được biểu diễn dưới dạng

Hình thức đánh chặn dốc

Dạng phổ biến nhất của phương trình tuyến tính là ở dạng hệ số góc, được biểu diễn dưới dạng;

y = mx + c

trong đó y và x là điểm trong mặt phẳng xy, m là hệ số góc của đường thẳng (còn gọi là gradient) và c là giao điểm (một giá trị không đổi).

Ví dụ: y = 3x + 7:

hệ số góc, m = 3 và hệ số chặn = 7

Dạng điểm dốc

Ở dạng phương trình tuyến tính này, một phương trình đường thẳng được hình thành bằng cách xem xét các điểm trong mặt phẳng xy, sao cho:

y – y ₁ = m (x – x ₁ )

trong đó (x ₁ , y ₁ ) là tọa độ của đường thẳng.

Chúng tôi cũng có thể diễn đạt nó dưới dạng:

y = mx +  y ₁ – m x ₁

Biểu mẫu đánh chặn

Một đường không song song với trục x hoặc trục y cũng như không đi qua điểm gốc mà cắt các trục ở hai điểm khác nhau, biểu thị dạng giao nhau. Các giá trị giao nhau x ₀ và y ₀  của hai điểm này không khác nhau và tạo thành phương trình của đường thẳng là:

x / x ₀ + y / y ₀  = 1

Dạng hai điểm

Nếu có hai điểm nói rằng (x ₁ , y ₁ ) và (x ₂ , y ₂ ) và chỉ có một đường thẳng đi qua chúng, thì phương trình của đường thẳng đó là:

y – y ₁ = [(y ₂  – y ₁ ) / (x ₂  – x ₁ )] (x – x ₁ )

trong đó  (y ₂  – y ₁ ) / (x ₂  – x ₁ ) là hệ số góc của đường thẳng và x ₁ ≠ x ₂

Cách giải các phương trình tuyến tính

Bây giờ bạn đã có một ý tưởng về phương trình tuyến tính và các dạng khác nhau của nó. Bây giờ chúng ta hãy học cách giải phương trình tuyến tính hoặc đường thẳng trong một biến, trong hai biến và ba biến với các ví dụ. Giải các phương trình này với các thủ tục từng bước được đưa ra ở đây.

Lời giải của phương trình tuyến tính trong một biến

Cả hai vế của phương trình được coi là cân bằng để giải một phương trình tuyến tính. Dấu bằng biểu thị rằng các biểu thức ở hai bên của dấu ‘bằng’ là bằng nhau. Vì phương trình là cân bằng, để giải nó, một số phép toán nhất định được thực hiện trên cả hai vế của phương trình theo cách mà nó không ảnh hưởng đến sự cân bằng của phương trình. Đây là ví dụ liên quan đến phương trình tuyến tính trong một biến.

Ví dụ: Giải  (2x – 10) / 2 = 3 (x – 1)

Bước 1: Xóa phân số

x – 5 = 3 (x – 1)

Bước 2: Đơn giản hóa cả hai phương trình

2x – 5 = 3x – 3

x = 3x + 2

x – 3x = 2

Bước 3: Cô lập x

-2x = 2
x = -1

Lời giải của phương trình tuyến tính trong hai biến

Để giải phương trình tuyến tính có 2 biến, có nhiều phương pháp khác nhau. Sau đây là một số trong số họ:

1. Phương pháp thay thế
2. Phương pháp nhân chéo
3. Phương pháp loại bỏ
4. Phương pháp xác định

Ta phải chọn một bộ gồm 2 phương trình để tìm giá trị của 2 biến. Chẳng hạn như ax + by + c = 0 và dx + ey + f = 0, còn được gọi là hệ phương trình có hai biến, trong đó x và y là hai biến và a, b, c, d, e, f là hằng số, và a, b, d và e không bằng 0. Ngược lại, phương trình đơn có vô số nghiệm.

Lời giải của phương trình tuyến tính trong ba biến

Để giải Phương trình tuyến tính có 3 biến, chúng ta cần một bộ 3 phương trình như cho dưới đây để tìm giá trị của ẩn số. Phương pháp ma trận là một trong những phương pháp phổ biến để giải hệ phương trình tuyến tính 3 biến.

a ₁ x + b ₁ y + c ₁ z + d ₁ = 0

a ₂ x + b ₂ y + c ₂ z + d ₂ = 0 và

a ₃ x + b ₃ y + c ₃ z + d ₃ = 0

Các vấn đề và giải pháp

Ví dụ 1: Giải ra x = 12 (x +2)

Giải pháp: 

x = 12 (x + 2)

x = 12x + 24

Trừ 24 cho mỗi bên

x – 24 = 12x + 24 – 24

x – 24 = 12x

Đơn giản hóa

11x = -24

Cô lập x, bằng cách chia mỗi bên cho 11

11x / 11 = -24/11

x = -24/11

Ví dụ 2: Giải ra x – y = 12 và 2x + y = 22

Giải pháp: 

Đặt tên cho các phương trình

x – y = 12 ———- (1)

2x + y = 22 ———- (2)

Phương trình cô lập (1) cho x,

x = y + 12

Thay y + 12 cho x trong phương trình (2)

2 (y + 12) + y = 22

3y + 24 = 22

3y = -2

hoặc y = -2/3

Thay giá trị của y bằng x = y + 12

x = y + 12

x = -2/3 + 12

x = 34/3

Đáp số: x = 34/3 và y = -2/3

Câu hỏi thực hành

Giải các phương trình tuyến tính sau:

1. 5y-11 = 3y + 9
2. 3x + 4 = 7 – 2x
3. 9 – 2 (y – 5) = y + 10
4. 5 (x – 1) = 3 (2x – 5) – (1 – 3x)
5. 2 (y – 1) – 6y = 10 – 2 (y – 4)
6. y / 3 – (y – 2) / 2 = 7/3
7. (y – 3) / 4 + (y – 1) / 5 – (y – 2) / 3 = 1
8. (3x – 2) / 3 + (2x + 3) / 3 = (x + 7) / 6
9. (8y – 5) / (7y + 1) = -4/5
10. (5 – 7y) / (2 + 4y) = -8/7