Contents
Định nghĩa
Căn bậc hai của bất kỳ số nào bằng một số, khi bình phương sẽ cho số ban đầu.
Giả sử m là số nguyên dương, sao cho √ (mm) = √ (m 2 ) = m
Lưu ý: Căn bậc hai của một số âm biểu thị một số phức .
Giả sử √-n = i√n, với i là số ảo.
Biểu tượng
Biểu tượng căn bậc hai thường được ký hiệu là ‘ √’ . Nó được gọi là một biểu tượng cấp tiến. Để biểu diễn một số ‘x’ dưới dạng căn bậc hai bằng cách sử dụng ký hiệu này có thể được viết dưới dạng:
‘ √x ‘
trong đó x là số. Số dưới ký hiệu căn được gọi là radicand . Ví dụ, căn bậc hai của 6 cũng được biểu diễn dưới dạng căn của 6. Cả hai đều biểu diễn cùng một giá trị
Công thức
Công thức để tìm căn bậc hai là:
| y = √a |
Vì, yy = y 2 = a; trong đó ‘a’ là bình phương của một số ‘y’.
Tính chất
Trong toán học, hàm căn bậc hai được định nghĩa là hàm một đối một lấy một số dương làm đầu vào và trả về căn bậc hai của số đầu vào đã cho.
f (x) = √x
Ví dụ: nếu x = 9, thì hàm trả về giá trị đầu ra là 3. Một số thuộc tính quan trọng của căn bậc hai như sau:
- Nếu một số là một số bình phương hoàn hảo, thì tồn tại một căn bậc hai hoàn hảo.
- Nếu một số kết thúc bằng số chẵn (0) thì nó có thể có căn bậc hai.
- Hai giá trị căn bậc hai có thể được nhân lên. Ví dụ, √3 có thể nhân với √2, thì kết quả sẽ là √6.
- Khi hai căn bậc hai giống nhau được nhân lên, thì kết quả sẽ là một số căn. Nó có nghĩa là kết quả là một số không căn bậc hai. Ví dụ, khi √7 nhân với √7, kết quả nhận được là 7.
- Căn bậc hai của bất kỳ số âm nào không được xác định. Bởi vì hình vuông hoàn hảo không thể là âm.
- Nếu một số kết thúc bằng 2, 3, 7 hoặc 8 (ở hàng đơn vị), thì căn bậc hai hoàn hảo không tồn tại.
- Nếu một số kết thúc bằng 1, 4, 5, 6 hoặc 9 ở chữ số hàng đơn vị, thì số đó sẽ có căn bậc hai.
bình phương hoàn hảo
Dưới đây là những số là bình phương hoàn hảo và sau đó việc tìm căn bậc hai của những số đó rất dễ dàng.
- 1 2 = 1
- 2 2 = 4
- 3 2 = 9
- 4 2 = 16
- 5 2 = 25
- 6 2 = 36
- 7 2 = 49
- 8 2 = 64
- 9 2 = 81
- 10 2 = 100
Do đó, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 và 100 là những bình phương hoàn hảo ở đây. Kiểm tra căn bậc hai của một số số ở đây:
| Căn bậc hai của 1 | Căn bậc hai của 2 |
| Căn bậc hai của 3 | Căn bậc hai của 5 |
| Căn bậc hai của 7 | Căn bậc hai của 10 |
| Căn bậc hai của 11 | Căn bậc hai của 20 |
| Căn bậc hai của 120 | Căn bậc hai của 144 |
| Căn bậc hai của 289 | Căn bậc hai của 576 |
Danh sách Căn bậc hai (1 đến 50)
Đây là danh sách các căn bậc hai của các số từ 1 đến 50.
| √n | Giá trị | √n | Giá trị | √n | Giá trị |
| √ 1 | 1 | √ 18 | 4.2426 | √ 35 | 5.9161 |
| √ 2 | 1.4142 | √ 19 | 4.3589 | √ 36 | 6 |
| √ 3 | 1,7321 | √ 20 | 4.4721 | √ 37 | 6,0828 |
| √ 4 | 2 | √ 21 | 4,5826 | √ 38 | 6.1644 |
| √ 5 | 2.2361 | √ 22 | 4.6904 | √ 39 | 6.2450 |
| √ 6 | 2,4495 | √ 23 | 4.7958 | √ 40 | 6.3246 |
| √ 7 | 2.6458 | √ 24 | 4.8990 | √ 41 | 6.4031 |
| √ 8 | 2,8284 | √ 25 | 5 | √ 42 | 6.4807 |
| √ 9 | 3 | √ 26 | 5.0990 | √ 43 | 6,5574 |
| √ 10 | 3,1623 | √ 27 | 5.1962 | √ 44 | 6.6332 |
| √ 11 | 3.3166 | √ 28 | 5.2915 | √ 45 | 6.7082 |
| √ 12 | 3,4641 | √ 29 | 5.3852 | √ 46 | 6,7823 |
| √ 13 | 3,6056 | √ 30 | 5.4772 | √ 47 | 6.8557 |
| √ 14 | 3,7417 | √ 31 | 5.5678 | √ 48 | 6.9282 |
| √ 15 | 3,8730 | √ 32 | 5.6569 | √ 49 | 7 |
| √ 16 | 4 | √ 33 | 5.7446 | √ 50 | 7,0711 |
| √ 17 | 4.1231 | √ 34 | 5.8310 |
Làm thế nào để Tìm Căn bậc hai?
Để tìm căn bậc hai của bất kỳ số nào, chúng ta cần tìm xem số đã cho là một bình phương hoàn hảo hay bình phương không hoàn hảo. Nếu số là một hình vuông hoàn hảo, chẳng hạn như 4, 9, 16, v.v., thì chúng ta có thể phân tích số bằng phương pháp thừa số nguyên tố. Nếu số là một bình phương không hoàn hảo, chẳng hạn như 2, 3, 5, v.v., thì chúng ta phải sử dụng phương pháp chia dài để tìm căn.
Ví dụ: Bình phương của 7 = 7 x 7 = 7 2 = 49
Căn bậc hai của 49, √ 49 = 7
Căn bậc hai theo thừa số nguyên tố
Căn bậc hai của một số bình phương hoàn hảo rất dễ tính bằng phương pháp phân tích thừa số nguyên tố. Hãy để chúng tôi giải quyết một số ví dụ ở đây:
| Con số | Cơ sở dữ liệu chính | Căn bậc hai |
| 16 | 2x2x2x2 | √16 = 2 × 2 = 4 |
| 144 | 2x2x2x2x3x3 | √144 = 2x2x3 = 12 |
| 169 | 13 × 13 | √169 = 13 |
| 256 | 256 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 | √256 = (2x2x2x2) = 16 |
| 576 | 576 = 2x2x2x2x2x2x3x3 | √576 = 2x2x2x3 = 24 |
Nhấp vào đây để tìm hiểu thêm về phương pháp và phân tích thừa số nguyên tố .
Cách tìm căn bậc hai bằng phương pháp chia
Tìm căn bậc hai cho các số không hoàn hảo là một chút khó khăn nhưng chúng ta có thể tính toán bằng cách sử dụng một phương pháp chia dài. Điều này có thể được hiểu với sự trợ giúp của ví dụ dưới đây. Hãy xem xét một ví dụ về việc tìm căn bậc hai của 436.
Như vậy, căn bậc hai của 436 là 20,880 (làm tròn đến 3 số thập phân).
Làm thế nào để tìm rễ hình vuông mà không cần máy tính?
Đây là một cách khá thú vị để tìm ra căn bậc hai của một số nhất định. Quy trình này hoàn toàn dựa trên phương pháp gọi là “đoán và kiểm tra”. Đoán câu trả lời của bạn và xác minh. Lặp lại quy trình cho đến khi bạn có kết quả chính xác mong muốn. Chúng ta cũng có thể sử dụng phương pháp chia dài để tìm căn bậc hai của một số.
Căn bậc hai của số thập phân
Một giá trị thập phân sẽ có dấu chấm (.) Chẳng hạn như 3,8, 5,2, 6,33, v.v. Đối với một số nguyên, chúng ta đã hiểu cách lấy căn bậc hai nhưng chúng ta hãy xem cách lấy căn bậc hai của một số thập phân.
Ví dụ: Tìm căn bậc hai của 0,09.
Cho N 2 = 0,09
Lấy gốc ở cả hai phía.
N = ± √0,09
Như chúng ta đã biết,
0,3 x 0,3 = (0,3) 2 = 0,09
Do đó,
N = ± √ (0,3) 2
N = ± (0,3)
Căn bậc hai của số phức
Để tìm căn bậc hai của số phức hơi phức tạp. Chúng ta có thể tìm căn bậc hai của a + ib bằng công thức dưới đây:
a + b i—–√= ± (a2+b2+ a√2——-√+ tôia2+b2– một√2——-√)
trong đó a + ib là một số phức.
Cách giải phương trình căn bậc hai
Một phương trình căn bậc hai là một phương trình có một biến trong bán kính của căn. Nó còn được gọi là phương trình căn.
Để giải phương trình căn, chúng ta cần làm theo các bước sau:
- Cô lập căn bậc hai cho một trong các cạnh (LHS hoặc RHS).
- Bình phương cả hai vế của phương trình đã cho
- Bây giờ giải phương trình còn lại.
Hãy để chúng tôi hiểu các bước với các ví dụ.
Ví dụ: Giải phương trình nghiệm nguyên √ (4a + 9) – 5 = 0
Giải: Cho, √ (4a + 9) – 5 = 0
Cô lập số hạng căn bậc hai đầu tiên. Sau đó, phương trình trở thành,
√ (4a + 9) = 5
Bây giờ bình phương cả hai bên, chúng ta nhận được; 4a + 9 = 5 2
4a + 9 = 25
4a = 16
a = 16/4
a = 4
Điều kiện 1: Nếu phương trình có nhiều hơn một căn hoặc căn bậc hai.
Nếu phương trình căn có nhiều hơn một căn thì lặp lại các bước đã cho ở trên cho mỗi căn bậc hai.
Ví dụ: Giải √ (2x − 5) – √ (x − 1) = 1
Hãy để chúng tôi tách một trong những căn bậc hai.
√ (2x − 5) = 1 + √ (x − 1)
Bây giờ bình phương cả hai bên
2x – 5 = (1 + √ (x − 1)) 2
Áp dụng đồng nhất đại số, (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab.
2x − 5 = 1 + 2√ (x − 1) + (x − 1)
2x − 5 = 2√ (x − 1) + x
x − 5 = 2√ (x − 1)
Bây giờ một lần nữa cô lập căn bậc hai.
√ (x − 1) = (x − 5) / 2
x − 1 = ((x − 5) / 2) 2
x − 1 = (x 2 – 10x + 25) / 4
4x − 4 = x 2 – 10x + 25
4x – 4 – x 2 + 10x – 25 = 0
−x 2 + 14x – 29 = 0
x 2 – 14x + 29 = 0
Sử dụng công thức bậc hai, chúng ta có thể giải phương trình trên.
x = 2,53 và x = 11,47
Làm thế nào để vuông một số?
Để tìm bình phương của một số, chúng ta cần nhân số đó với chính nó.
Ví dụ, 2 nhân với 2 được bằng 4
Dưới đây là bảng 2 x 2 cho thấy, tổng cộng có bốn khối.
| 1 | 2 |
| 3 | 4 |
Tương tự,
bình phương của 5 là: 5 nhân với 5 = 5 x 5 = 5 2 = 25
Hình vuông của 9 = 9 2 = 9 x 9 = 81
Hình vuông của 15 = 15 2 = 15 x 15 = 225
bình phương và Căn bậc hai
Hãy để chúng tôi xem giá trị của bình phương và căn bậc hai của các số ở đây.
| Con số | bình phương | Căn bậc hai |
| 0 | 0 2 = 0 | √0 = 0 |
| 1 | 1 2 = 1 | √1 = 1 |
| 2 | 2 2 = 4 | √4 = 2 |
| 3 | 3 2 = 9 | √9 = 3 |
| 4 | 4 2 = 16 | √16 = 4 |
| 5 | 5 2 = 25 | √25 = 5 |
| 6 | 6 2 = 36 | √36 = 6 |
| 7 | 7 2 = 49 | √49 = 7 |
| số 8 | 8 2 = 64 | √64 = 8 |
| 9 | 9 2 = 81 | √81 = 9 |
| 10 | 10 2 = 100 | √100 = 10 |
Các ứng dụng của Square Roots
Công thức căn bậc hai là một phần quan trọng của toán học liên quan đến nhiều ứng dụng thực tế của toán học và nó cũng có các ứng dụng của nó trong các lĩnh vực khác như máy tính. Một số ứng dụng là:
- Phương trình bậc hai
- Đại số học
- Hình học
- Giải tích
Các vấn đề và giải pháp
Hãy để chúng tôi hiểu khái niệm này với sự trợ giúp của một ví dụ:
Ví dụ 1: Giải √10 đến 2 chữ số thập phân.
Giải pháp:
Bước 1: Chọn bất kỳ hai căn bậc hai hoàn hảo nào mà bạn cảm thấy số của mình có thể nằm giữa.
Ta biết rằng 2 2 = 4; 3 2 = 9, 4 2 = 16 và 5 2 = 25
Bây giờ, chọn 3 và 4 (vì √ 10 nằm giữa hai số này)
Bước 2: Chia số đã cho cho một trong các căn bậc hai đã chọn.
Chia 10 cho 3.
=> 10/3 = 3,33 (làm tròn đáp số ở 2 chỗ)
Bước 3: Tìm trung bình cộng của căn và kết quả ở bước trên tức là
(3 + 3,33) / 2 = 3,1667
Xác minh: 3,1667 x 3,1667 = 10,0279 (Không bắt buộc)
Lặp lại bước 2 và bước 3
Bây giờ 10 / 3,1667 = 3,1579
Trung bình của 3,1667 và 3,1579.
(3,1667 + 3,1579) / 2 = 3,1623
Xác minh: 3,1623 x 3,1623 = 10.0001 (chính xác hơn)
Dừng quá trình.
Ví dụ 2 : Tìm các căn bậc hai của các số là các bình phương hoàn hảo từ 1 đến 100. Bài
giải: Các bình phương hoàn hảo từ 1 đến 100: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100
| Căn bậc hai | Kết quả |
| √ 1 | 1 |
| √ 4 | 2 |
| √ 9 | 3 |
| √ 16 | 4 |
| √ 25 | 5 |
| √ 36 | 6 |
| √ 49 | 7 |
| √ 64 | 8 |
| √ 81 | 9 |
| √ 100 | 10 |
Ví dụ 3 : Là gì:
- Căn bậc hai của 2
- Căn bậc hai của 3
- Căn bậc hai của 4
- Căn bậc hai của 5
Giải pháp : Sử dụng danh sách căn bậc hai, chúng ta có
- giá trị của căn 2 tức là √2 = 1.4142
- giá trị của căn 3 tức là √3 = 1,7321
- giá trị của căn 4 tức là √4 = 2
- giá trị của căn 5 tức là √5 = 2,2361
Ví dụ 4 : Căn bậc hai của một số âm có phải là một số nguyên không?
Giải pháp : Không, Theo định nghĩa căn bậc hai, số âm không được có căn bậc hai. Bởi vì nếu chúng ta nhân hai số âm, kết quả sẽ luôn là một số dương. Căn bậc hai của số âm được biểu thị dưới dạng bội số của i (số ảo).
Ví dụ 5: Giải phương trình: √ (x + 2) = 4
Giải pháp: Đưa ra,
√ (x + 2) = 4
Bình phương cả hai bên, chúng tôi nhận được;
X + 2 = √4
x + 2 = ± 4
x = ± 4 – 2
Vì thế,
x = 2 hoặc x = -6
Vấn đề thực hành
- Đơn giản hóa √142
- Tìm giá trị của √12.
- √155, √121 và √139 có phải là hình vuông hoàn hảo không?
