Trong bài này, chúng ta sẽ hiểu chi tiết khái niệm đạo hàm có hướng. Chúng ta sẽ tìm hiểu định nghĩa, công thức, gradient và các thuộc tính của nó. Chúng ta sẽ đi trước và tìm hiểu về khái niệm đạo hàm thông thường. Chúng ta cũng sẽ thảo luận về một vài ví dụ đã giải về tính đạo hàm có hướng.
Định nghĩa Đạo hàm Hướng
Đối với một hàm vô hướng f (x) = f (x 1 , x 2 ,…, x n ), đạo hàm có hướng được xác định là một hàm ở dạng sau;
▽ u f = lim h → 0 [f (x + hv) -f (x)] / h
Trong đó v là vectơ mà đạo hàm có hướng của f (x) được xác định. Đôi khi, v bị giới hạn trong một vectơ đơn vị , nhưng nếu không, định nghĩa cũng được giữ nguyên.
Vectơ v được cho bởi;
v = (v 1 , v 2 , v 3 ,…, v n )
Ngoài ra, hãy đọc:
|
Các thuộc tính của Đạo hàm hướng
Các tính chất cơ bản liên quan đến đạo hàm có hướng được thảo luận dưới đây. Giả sử hai hàm f và g bất kỳ được xác định trong vùng lân cận của điểm ‘a’ và khả vi tại ‘a’.
-
- Quy tắc cho hệ số không đổi
Gọi k là hằng số, thì;
▽ v (kf) = k ▽ v f
-
- Quy tắc tính tổng
Tổng là phân phối.
▽ v (f + g) = ▽ v f + ▽ v g
-
- Quy tắc cho sản phẩm
Đây còn được gọi là quy tắc của Leibniz .
▽ v (fg) = g ▽ v f + f ▽ v g
-
- Quy tắc chuỗi
Nó áp dụng khi f khả vi tại ‘a’ và g phân biệt được tại f (a). Trong trường hợp này,
▽ v (sương mù) (a) = f ′ (g (a)) ▽ v g (a)
Công thức
Đạo hàm có hướng được xác định là n. ▽ f. Ở đây, n được coi là một vector đơn vị. Đạo hàm có hướng được định nghĩa là tốc độ thay đổi dọc theo đường đi của vectơ đơn vị là u = (a, b). Đạo hàm có hướng được ký hiệu là Du f (x, y) có thể được viết như sau:
| D u f (x, y) = lim h → 0 [f (x + ah, y + bh) -f (x, y)] / h |
Vấn đề ví dụ
Q.1: Tìm đạo hàm có hướng của hàm số f (x, y) = xyz theo hướng 3i – 4k. Nó có các điểm là (1, -1,1).
Lời giải: Cho hàm số là f (x, y) = xyz
Trường vectơ là 3i – 4k. Nó có độ lớn là √ [(3 2 ) + (- 4 2 ) = √25 = √5
Vectơ đơn vị n theo hướng 3i – 4k do đó n = 1/5 (3i – 4k)
Bây giờ, chúng ta phải tìm gradient ▽ f để tìm đạo hàm có hướng.
Do đó, ▽ f = yzi + xzj + xyk
Bây giờ, đạo hàm có hướng là;
n. ▽ f = 1/5 (3i − 4k). (yzi + xzj + xyk)
= 1/5 [3 × yz + 0 – 4 × xy]
Đạo hàm có hướng tại điểm (1, -1,1) là;
n. ▽ f = 1/5 [3 × (−1) × (1) −4 × 1 × (−1)]
n. ▽ f = ⅕
Gradient phái sinh hướng
Vì chúng ta biết rằng gradient được xác định cho hàm f (x, y) là;
▽ f = ▽ f (x, y) = ∂f / ∂xi + ∂f / ∂yj
Điều này có thể được tính bằng cách gán toán tử vectơ r cho f (x, y) là một hàm vô hướng. Trường vectơ đó được gọi là trường vectơ gradient.
Nếu ta có một hàm f (x, y, z) và u (u1, u2, u3) là vectơ đơn vị thì;
D u f = ▽ fu = ∂f / ∂xu 1 + ∂f / ∂yu 2 + ∂f / ∂zu 3
Rõ ràng rằng, nếu chúng ta lấy một tích số chấm của gradient và vectơ đơn vị đã cho, thì chúng ta sẽ nhận được đạo hàm có hướng của hàm số.
Ví dụ: Tìm gradient của hàm f (x, y) = x + y.
Lời giải: Cho hàm số là f (x, y) = x + y
▽ f = ▽ f (x, y) = (∂f / ∂x) i + (∂f / ∂y) j
▽ f = [∂ (x + y) / ∂x] i + [∂ (x + y) / ∂y] j
▽ f = (1 + 0) i + (0 + 1) j
▽ f = i + j
Do đó, gradient của hàm f (x, y) = x + y là i + j.
Xem thêm:
