Frustum là một từ tiếng Latinh có nghĩa là ‘mảnh bị cắt bỏ’. Khi một vật rắn (nói chung là hình nón hoặc hình chóp) được cắt theo cách mà đáy của vật rắn và mặt phẳng cắt vật rắn song song với nhau, một phần của vật rắn nằm giữa mặt phẳng cắt song song và mặt đáy được gọi là thất vọng của rắn đó.
Để hình dung một cách đúng đắn về sự thất vọng, hãy xem xét một que kem chứa đầy kem. Khi hình nón được cắt theo cách như trong hình vẽ, phần còn lại giữa mặt đáy và mặt phẳng song song là thất của một hình nón.
Khối lượng của Frustum Cone
Hãy cùng chúng tôi tìm hiểu ở đây cách tìm thể tích khối chóp của một hình nón với sự trợ giúp của sơ đồ đã cho. Công thức này cũng sẽ giúp tìm thể tích khối chóp của một hình chóp có dạng hình nón.
Trong hình nón đã cho ở trên, thất bại có thể được coi là hiệu của hai hình nón tròn bên phải.
Cho hình nón lớn hơn có chiều cao bằng h đơn vị, chiều cao nghiêng là l đơn vị và bán kính như r đơn vị được đặt tên là hình nón 1 và hình nón tròn bên phải nhỏ hơn được đặt tên là hình nón 2 có chiều cao được cho là h′ đơn vị, bán kính như r′ đơn vị và chiều cao nghiêng như l′ các đơn vị.
Chiều cao của bực bội là H đơn vị và chiều cao nghiêng của nó là L các đơn vị.
Thể tích của hình nón tròn bên phải 1 = 13 Số Pir2h
Tương tự, thể tích của hình nón tròn bên phải 2 = 13 Số Pir′ 2h′
Do đó, thể tích của khối nón có thể được cho là:
Thể tích khối nón V = 13 Số Pir2 h – 13 Số Pir′ 2h′
Khối lượng của thất vọng V = 13 π (r2 h – r′ 2h′) – (1)
Từ hình trên, trong Δ OO′D và Δ O PB;
∠ DOO′ = ∠ BOP( Góc chung )
Như CD←→||A B←→(Mặt phẳng chia hình nón song song với mặt đáy)
⇒ ∠ O′D O = ∠ PB O( Góc tương ứng )
Vì vậy, Δ OO′D~Δ O PD(Theo tiêu chí AA về độ giống nhau )
Do đó, theo điều kiện đối với các tam giác đồng dạng, tỷ số các cạnh tương ứng phải bằng:
⇒ h′h = r′r – (2)
Thay giá trị này vào phương trình (1),
V = 13 π (r2(rh′r′) – r′ 2h′)
⇒ V = 13 Số Pih′ (r3 – r′ 3r′) – (3)
Như có thể thấy từ hình 3,
h = H + h′
Thay giá trị này vào phương trình (2),
h′H + h′ = r′r
⇒ h′H = r′r – r′
⇒ h′ = H(r′r – r′)
Thay thế giá trị này của h′ trong phương trình (3), chúng ta nhận được
V=13Số PiH(r ‘r – r ‘) (r3– r‘3r ‘) V=13Số PiH(r – r ‘r – r ‘) (r2+ r r ‘ + r‘2)⇒ V = 13 π H (r2 + r′r + r′ 2)
Điều này cho thấy khối lượng thất bại cần thiết của hình nón.
Diện tích bề mặt của lớp vỏ hình nón
Tương tự, diện tích bề mặt cũng sẽ là sự khác biệt của diện tích bề mặt của cả hai hình nón.
Diện tích mặt cong của hình nón tròn bên phải 1 = πrl
Diện tích mặt cong của hình nón tròn bên phải 2 = πr’l ‘
Diện tích mặt cong của hình nón = π rl – π r’l ‘
Ngoài ra, từ vả. 3, trong t he ∆OAB và ∆OCD;
∠AOB = ∠COD (Góc chung)
Như CD←→ || A B←→ (Mặt phẳng chia hình nón song song với mặt đáy)
⇒ ∠OCD = ∠OAB (Góc tương ứng)
Do đó, ΔOAB ~ ΔOCD (Theo tiêu chí AA về độ giống nhau)
Diện tích mặt bên của hình nón là hiệu của diện tích cung của các đường tròn ( s và s ′) với các bán kính r và r ′ và góc ở tâm chung θ như trong hình bên.
Từ hình 3 là ΔOO′D ~ ΔOPB do đó:
⇒ l′l = r′r -(4)
Cũng từ hình trên: l ′ = l – L
Thay giá trị này của l ‘ vào phương trình (4),
l – L l = r′r
l = L ( rr – r′) – (5)
Chu vi của cơ sở là độ dài của cung S và S ‘, được cho bởi:
S ‘= 2πr’
S = 2πr
Từ hình vẽ,
Diện tích bề mặt cong của bức tượng, A = 12 ( Sl – S′l′)
⇒ A = 12 × 2 π r l – 12 × 2 π r′( lr′r )
⇒ A = π l ( r – r′ 2r)
⇒ A = π l ( r2 – r′ 2r)
Từ phương trình (5), thay giá trị của l,
⇒ A = πL (rr – r′) (r2 – r′ 2r)⇒ A = π L(r+ r′)
Do đó, diện tích bề mặt cong của khối hình nón, A = π L(r+ r′)
Ở đâu, L = √H2 + ( r – r′)2
Tổng diện tích bề mặt được cho là tổng của diện tích bề mặt cong và diện tích của cơ sở. Do đó, tổng diện tích bề mặt của bức tượng là:
Tổng diện tích bề mặt của hình nón = π L(r+ r′) + π r2 + π r′ 2
Giải quyết vấn đề
Một hình nón bị một mặt phẳng cắt theo phương ngang. Bán kính của đỉnh tròn và đáy của bức tượng lần lượt là 10m và 3m. Chiều cao của bức tượng là 24m. Nếu chiều cao của hình nón là 28m, thì hãy tìm diện tích mặt bên của hình nón.
Giải pháp: Hãy để,
Bán kính là r 1 = 10m và r 2 = 3m
Chiều cao, h = 24m
Trước tiên, chúng ta cần tìm chiều cao nghiêng của bực bội, theo công thức:
l = √ [(r 1 – r 2 ) 2 + h 2 ]
= √ {(10 – 3) 2 + 24 2 }
= √ (49 + 576)
= √625 m
= 25 m
Mặt bên của bức tượng = π (r 1 + r 2 ) l
LSA = π (10 + 3) 25
= 325π sq.m.
Câu hỏi thường gặp – Câu hỏi thường gặp
Một thất bại của hình nón là gì?
Công thức cho thất bại của một hình nón là gì?
Chiều cao nghiêng = √ ((r – r ‘) 2 + h 2 ) Thể tích
= (1/3) x π xhx (r 2 + r’ 2 + (rx r ‘))
Tổng diện tích bề mặt của khối hình nón là bao nhiêu?
Diện tích bề mặt = π * [r 2 + r ‘ 2 + (r + r’) x √ ((r – r ‘) 2 + h 2 )]
CSA của một thất vọng là gì?
CSA = πl (R – r)
Trong đó r là bán kính của hình tròn trên hoặc hình tròn nhỏ của khối hình và R là bán kính của hình tròn hoặc đáy lớn và l là chiều cao nghiêng.
Bề mặt bên của thất bại của hình nón là gì?
Do đó, LSA = πl (R – r)
Trong đó r là bán kính của hình tròn trên hoặc hình tròn nhỏ của khối thất bại và R là bán kính của hình tròn hoặc đáy lớn và l là chiều cao nghiêng.
