Các điểm cố định được gọi là tiêu điểm (F 1 và F 2 trong hình trên) (tiêu điểm kỳ dị). Hình trên biểu diễn một hyperbol sao cho P 1 F 2 – P 1 F 1 = P 2 F 2 – P 2 F 1 = P 3 F 1 – P 3 F 2 là một hằng số.
Khi cả hai tiêu điểm được nối với sự trợ giúp của một đoạn thẳng thì điểm giữa của đoạn thẳng này nối với tiêu điểm được gọi là tâm, O đại diện cho tâm của một hình elip trong hình trên. Đoạn thẳng đi qua cả hai tiêu điểm là trục ngang của hyperbol. Đoạn thẳng vuông góc với trục hoành và đi qua tâm biểu diễn trục liên hợp của hyperbol.
Giao điểm của hyperbol với trục hoành cho các đỉnh của hyperbol được biểu diễn bởi các điểm A và B trong hình đã cho. ‘2a’ biểu thị chiều dài của trục ngang. ‘2b’ là độ dài của trục liên hợp. ‘2c’ đại diện cho khoảng cách giữa hai tiêu điểm. Mối quan hệ giữa a, b và c được cho bởi:
b = √ (c 2 – a 2 )
Độ lệch tâm Hyperbola
Tỷ lệ khoảng cách từ tâm của hyperbol từ một trong hai tiêu điểm đến một trong hai đỉnh của hyperbol được định nghĩa là độ lệch tâm.
Độ lệch tâm, e = c / a
Vì c ≥ a nên độ lệch tâm luôn lớn hơn 1 trong trường hợp hyperbol.
Phương trình chuẩn của Hyperbola
Phương pháp đơn giản nhất để xác định phương trình của hyperbol là giả sử rằng tâm của hyperbol là tại điểm gốc (0, 0) và các điểm nằm trên trục x hoặc trục y của mặt phẳng Descartes như hình dưới đây:
Cả hai tiêu điểm đều nằm trên trục x và tâm O nằm tại gốc tọa độ.
Chúng ta hãy xem hình (a) để suy ra phương trình của hyperbol. Cho tọa độ của F 1 và F 2 lần lượt là (-c, 0) và (c, 0) như hình bên. Ta xét một điểm P (x, y) nằm trên hyperbol sao cho P thỏa mãn định nghĩa tức là hiệu khoảng cách của P từ F 1 và F 2 trong mặt phẳng là một hằng số 2a.
⇒ PF 1 – PF 2 = 2a – – – (1)
Sử dụng công thức khoảng cách, khoảng cách có thể được viết là:
Bình phương và đơn giản hóa cả hai bên, chúng tôi nhận được;
Bây giờ vì P nằm trên hyperbol nên thỏa mãn phương trình (2) sao cho 0 <a <c.
Vì vậy,
Khi đơn giản hóa, 
Tương tự,
Trong một hyperbol, c> a và vì P nằm bên phải đường thẳng x = a, nên có thể nói rằng x> a tức là
Do đó PF 2 trở thành âm.
Vì thế,
Do đó phương trình có tâm tại gốc và trục hoành dọc theo trục x là:
Tương tự, phương trình với tâm tại gốc và trục liên hợp dọc theo trục y là:
Trực tràng trực tràng của Hyperbola
Các đoạn thẳng vuông góc với trục ngang qua bất kỳ tiêu điểm nào sao cho điểm cuối của chúng nằm trên hyperbol được xác định là trực tràng vĩ tuyến của hyperbol.
Chiều dài của trực tràng latus là 2b 2 / a.
Xem thêm:
