Lý thuyết nhóm là gì? Xem xong 5 phút hiểu luôn.

Lý thuyết nhóm trong toán học

Lý thuyết nhóm là nghiên cứu về một tập hợp các phần tử có trong một nhóm, trong Toán học. Khái niệm của một nhóm là nền tảng cho đại số trừu tượng. Các cấu trúc đại số quen thuộc khác như vành, trường và không gian vectơ có thể được coi là nhóm được cung cấp thêm các phép toán và tiên đề. Các khái niệm và giả thuyết của Nhóm lặp lại trong suốt toán học. Ngoài ra, các quy tắc của lý thuyết nhóm đã ảnh hưởng đến một số thành phần của đại số.

Ví dụ: Một nhóm các số nguyên được thực hiện theo phép toán nhân. Lý thuyết nhóm hình học trong ngành Toán học về cơ bản là nghiên cứu các nhóm được tạo ra một cách hữu hạn với việc sử dụng nghiên cứu các mối quan hệ giữa các tính chất đại số của các nhóm này cũng như các tính chất tôpô và hình học của các không gian.

Các lớp chính của các nhóm trong toán học được đưa ra bởi:

• Nhóm ma trận
• Nhóm chuyển đổi
• Nhóm hoán vị
• Nhóm trừu tượng

Thuộc tính lý thuyết nhóm

Giả sử Dot (.) Là một phép toán và G là nhóm, khi đó các tiên đề của lý thuyết nhóm được định nghĩa là;

• Kết luận: Nếu ‘x’ và ‘y’ là hai phần tử trong một nhóm, G, thì xy cũng sẽ nằm trong G.
• Tính liên kết: Nếu ‘x’, ‘y’ và ‘z’ cùng nhóm G thì x. (y. z) = (x. y). z.
• Tính nghịch đảo: Với mọi ‘x’ trong G, tồn tại một số ‘y’ trong G, sao cho; x. y = y. x.
• Đồng nhất: Với bất kỳ phần tử ‘x’ nào trong G, tồn tại một phần tử ‘I’ trong G, sao cho: x. I = tôi. x, trong đó ‘I’ được gọi là phần tử đồng nhất của G.

Ví dụ phổ biến nhất, thỏa mãn các tiên đề này, là phép cộng hai số nguyên, kết quả là chính nó là một số nguyên. Do đó, thuộc tính đóng được thỏa mãn. Ngoài ra, việc bổ sung các số nguyên thỏa mãn thuộc tính kết hợp . Tồn tại một tên phần tử nhận dạng là số 0 trong nhóm, khi được thêm vào với bất kỳ số nào, sẽ cho ra số ban đầu. Ngoài ra, đối với mọi số nguyên, tồn tại một nghịch đảo, theo cách như vậy, khi chúng được thêm vào sẽ cho kết quả là 0. Vì vậy, tất cả các tiên đề nhóm đều được thỏa mãn trong trường hợp thực hiện phép cộng hai số nguyên.

Lý thuyết nhóm Tiên đề và Chứng minh

1: Nếu G là một nhóm có a và b là các phần tử của nó, sao cho a, b ∈ G, thì (a × b) ^-1 = a ^-1 × b ^-1

Bằng chứng:

Để chứng minh: (a × b) × b ^-1 × a ^-1 = I, trong đó I là phần tử đồng nhất của G.

Xét LHS của phương trình trên, chúng ta có,

LHS = (a × b) × b ^-1 × b ^-1

=> a × (b × b ^-1 ) × b ^-1

=> a × I × a ^-1 (theo tiên đề kết hợp)

=> (a × I) × a ^-1 (theo tiên đề nhận dạng)

= a × a ^-1 (theo tiên đề nhận dạng)

= Tôi (theo tiên đề nhận dạng)

= RHS

Do đó, đã chứng minh.

2: Nếu trong một nhóm G, ‘x’, ‘y’ và ‘z’ là ba phần tử sao cho x × y = z × y, thì x = z.

Chứng minh: Giả sử x × y = z × y. (Tôi)

Vì ‘y’ là một phần tử của nhóm G, điều này ngụ ý rằng tồn tại một số ‘a’ trong G với phần tử đồng nhất I, như vậy;

y × a = I (ii)

Khi nhân cả hai vế của (i) với ‘a’, chúng ta nhận được,

x × y × a = z × y × a

x × (y × a) = z × (y × a) (theo tính kết hợp)

Từ phương trình (ii);

a × I = c × I [using (ii)]

a = c (theo tiên đề nhận dạng)

Đây còn được gọi là luật hủy bỏ.

Do đó, đã chứng minh.

Ứng dụng lý thuyết nhóm

Các ứng dụng quan trọng của lý thuyết nhóm là:

• Vì lý thuyết nhóm là nghiên cứu về tính đối xứng, bất cứ khi nào một đối tượng hoặc một thuộc tính hệ thống là bất biến dưới sự biến đổi, đối tượng có thể được phân tích bằng lý thuyết nhóm.
• Thuật toán giải khối Rubik hoạt động dựa trên lý thuyết nhóm.
• Trong Vật lý, nhóm Lorentz thể hiện tính đối xứng cơ bản của nhiều định luật cơ bản của tự nhiên.

Nhóm con

Gọi (G, *) là một cấu trúc nhóm và cho S là một tập con của G thì S được cho là một nhóm con của G nếu (S, *) là một cấu trúc nhóm và nếu và chỉ nếu nó tuân theo các tính chất cho dưới đây.

(1) Cấu trúc nhị phân: ab ∈ S với mọi a, b ∈ S.

(2) Sự tồn tại của đồng nhất: Giả sử e ‘∈ S sao cho e’a = a = ae’ với mọi a ∈ S.

(3) Tồn tại nghịch đảo: Với mọi a ∈ S, tồn tại a ⁻¹ ∈ S sao cho aa ⁻¹  = e = a ⁻¹ a.

Các nhóm

Sự đa dạng của các nhóm đang được xem xét đã mở rộng đều đặn từ các nhóm hoán vị hữu hạn và các ví dụ đáng chú ý về các nhóm ma trận đến các nhóm trừu tượng có thể chỉ định thông qua một hiệu suất của trình tạo và quan hệ. Do đó, chúng ta có thể xác định các lớp sau của nhóm.

• Nhóm hoán vị
• Nhóm ma trận
• Nhóm chuyển đổi
• Nhóm trừu tượng