Ma trận trực giao là gì? Xem xong 5 phút hiểu luôn.

⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢a11a21...am 1a12a22...am 2a13a23...am 3… .a1 n… .a2 n… .am n⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

Trong đó n là số cột và m là số hàng, a _ij là các phần tử của nó sao cho i = 1,2,3,… n & j = 1,2,3,… m.

Nếu m = n, nghĩa là số hàng và số cột bằng nhau, thì ma trận được gọi là ma trận vuông .

Ví dụ, ⎡⎣⎢21– 24376– 59⎤⎦⎥

Đây là một ma trận vuông, có 3 hàng và 3 cột.

Có rất nhiều khái niệm liên quan đến ma trận. Các loại ma trận khác nhau là ma trận hàng, ma trận cột, ma trận chữ nhật, ma trận đường chéo, ma trận vô hướng, ma trận không hoặc null, ma trận đơn vị hoặc danh tính, ma trận tam giác trên & ma trận tam giác dưới. Trong đại số tuyến tính, ma trận và các thuộc tính của nó đóng một vai trò quan trọng. Trong bài viết này, một lời giải thích ngắn gọn về ma trận trực giao được đưa ra cùng với định nghĩa và các tính chất của nó.

Bạn có nghĩa là gì bởi Orthogonal?

Khi chúng ta nói hai vectơ trực giao, chúng ta có nghĩa là chúng vuông góc hoặc tạo thành một góc vuông. Bây giờ khi chúng ta giải các vectơ này với sự trợ giúp của ma trận, chúng sẽ tạo ra một ma trận vuông, có số hàng và số cột bằng nhau. 

Định nghĩa ma trận trực giao

Chúng ta biết rằng ma trận vuông có số hàng và số cột bằng nhau. Ma trận vuông với các số thực hoặc phần tử được cho là ma trận trực giao, nếu chuyển vị của nó bằng ma trận nghịch đảo của nó. Hoặc chúng ta có thể nói, khi tích của ma trận vuông và phép chuyển vị của nó cho một ma trận đồng nhất, thì ma trận vuông được gọi là ma trận trực giao.

Giả sử A là ma trận vuông với các phần tử thực và có bậc nxn và A ^T là chuyển vị của A. Khi đó theo định nghĩa, nếu A ^T = A ^-1 thỏa mãn thì,

AA ^T = I

Trong đó ‘I’ là ma trận nhận dạng, A ^-1 là nghịch đảo của ma trận A và ‘n’ biểu thị số hàng và cột.

Ghi chú:

• Tất cả các ma trận trực giao là khả nghịch. Vì phép chuyển vị giữ lại định thức, do đó chúng ta có thể nói, định thức của ma trận trực giao luôn bằng -1 hoặc +1.
• Mọi ma trận trực giao đều là ma trận vuông nhưng không phải mọi ma trận vuông đều là trực giao.

Nghịch đảo của ma trận trực giao

Nghịch đảo của ma trận trực giao cũng là trực giao. Nó là tích ma trận của hai ma trận trực giao với nhau. 

Nếu nghịch đảo của ma trận bằng với chuyển vị của nó, thì nó là ma trận trực giao.

Ma trận nhất thể

Ma trận vuông được gọi là ma trận đơn nhất nếu chuyển vị liên hợp của nó cũng là nghịch đảo của nó. 

AA ^T = I

Vì vậy, về cơ bản, ma trận đơn ánh cũng là một ma trận trực giao trong đại số tuyến tính.

Thuộc tính ma trận trực giao

• Chúng ta có thể nhận được ma trận trực giao nếu ma trận đã cho phải là ma trận vuông.
• Ma trận trực giao có tất cả các phần tử thực trong đó.
• Tất cả các ma trận nhận dạng đều là ma trận trực giao.
• Tích của hai ma trận trực giao cũng là một ma trận trực giao.
• Tập hợp của ma trận trực giao bậc nxn, trong một nhóm, được gọi là một nhóm trực giao và được ký hiệu là ‘O’.
• Chuyển vị của ma trận trực giao cũng là trực giao. Như vậy, nếu ma trận A là trực giao thì A ^T cũng là ma trận trực giao.
• Theo cách tương tự, nghịch đảo của ma trận trực giao, là A ^-1 cũng là ma trận trực giao.
• Định thức của ma trận trực giao có giá trị là ± 1.
• Nó là đối xứng trong tự nhiên
• Nếu ma trận là trực giao, thì chuyển vị và nghịch đảo của nó bằng nhau
• Các giá trị riêng của ma trận trực giao cũng có giá trị ± 1, và các giá trị riêng của nó cũng sẽ là trực giao và thực.

Yếu tố quyết định của ma trận trực giao

Số được kết hợp với ma trận là định thức của ma trận. Định thức của một ma trận vuông được biểu diễn bên trong các thanh dọc. Gọi Q là ma trận vuông có các phần tử thực và P là định thức, khi đó,

Q = [a1b1a2b2]

Và | Q | =∣∣∣a1b1a2b2∣∣∣

| Q | = a ₁ .b ₂ – a ₂ .b ₁

Nếu Q là một ma trận trực giao, thì

| Q | = ± 1

Do đó, giá trị của định thức đối với ma trận trực giao sẽ là +1 hoặc -1.

Sản phẩm chấm của Ma trận trực giao

Khi chúng ta học trong Đại số tuyến tính, nếu hai vectơ trực giao với nhau, thì tích chấm của hai vectơ sẽ bằng không. Hoặc chúng ta có thể nói, nếu tích chấm của hai vectơ bằng 0, thì chúng trực giao. Ngoài ra, nếu độ lớn của hai vectơ bằng một, thì chúng được gọi là trực chuẩn. 

Để kiểm tra, chúng ta có thể lấy bất kỳ hai cột hoặc hai hàng bất kỳ của ma trận trực giao, để tìm chúng là trực chuẩn và vuông góc với nhau. Vì chuyển vị của ma trận trực giao là chính ma trận trực giao. 

Các ví dụ đã giải quyết

Chúng ta hãy xem một ví dụ về ma trận trực giao.

Q.1: Xác định xem A có phải là ma trận trực giao hay không. 

A = [– 1001]

Giải: Để tìm xem A có trực giao hay không, hãy nhân ma trận với chuyển vị của nó để được ma trận Identity.

Được, 

A = [– 1001]

Chuyển vị của A,

AT= [– 1001]

Bây giờ nhân A và A ^T

 A AT= [( – 1 ) ( – 1 )( 0 ) ( 0 )( 0 ) ( 0 )( 1 ) ( 1 )] = [1001]

Vì, chúng ta đã có ma trận nhận dạng ở cuối, do đó ma trận đã cho là trực giao.

Q.2: Chứng minh Q = [c o s Z– s i n Zs tôi n Zc o s Z] là ma trận trực giao.

Giải pháp:

Cho trước, Q = [c o s Z– s i n Zs tôi n Zc o s Z]

Vì vậy, Q ^T =[c o s Zs tôi n Z– s i n Zc o s Z] …. (1)

Bây giờ, chúng ta phải chứng minh Q ^T = Q ^-1

Bây giờ chúng ta hãy tìm Q ^-1 .

Q ^-1 =A dj ( Q )| Q |

Q ^-1 =[c o s Zs tôi n Z– s i n Zc o s Z]c oS2VỚI+ s tôin2VỚI

Q ^-1 =[c o s Zs tôi n Z– s i n Zc o s Z]1

Q ^-1 =[c o s Zs tôi n Z– s i n Zc o s Z] … (2)

Bây giờ, so sánh (1) và (2), chúng ta nhận được Q ^T = Q ^-1

Do đó, Q là một ma trận trực giao