Định hướng Cosines & Tỷ lệ hướng của một đường
Contents
Nguyên tắc của Giải pháp Quy nạp Toán học và Chứng minh
Xét một câu lệnh P (n), với n là một số tự nhiên . Sau đó, để xác định tính hợp lệ của P (n) với mọi n, hãy sử dụng nguyên tắc sau:
Bước 1: Kiểm tra xem câu lệnh đã cho có đúng với n = 1 hay không.
Bước 2: Giả sử rằng câu lệnh P (n) đã cho cũng đúng với n = k, với k là bất kỳ số nguyên dương nào.
Bước 3: Chứng minh rằng kết quả P (k + 1) là đúng với mọi số nguyên dương k.
Nếu thỏa mãn các điều kiện nêu trên thì có thể kết luận rằng P (n) đúng với mọi số tự nhiên n.
Bằng chứng:
Bước đầu tiên của nguyên tắc là một tuyên bố thực tế và bước thứ hai là một điều kiện . Theo đó, nếu câu lệnh đã cho chỉ đúng với một số nguyên dương k thì có thể kết luận rằng câu lệnh P (n) hợp lệ với n = k + 1.
Đây còn được gọi là bước quy nạp và giả thiết P (n) đúng với n = k được gọi là giả thiết quy nạp.
Các vấn đề đã được giải quyết
Ví dụ 1: Chứng minh rằng tổng các lập phương của n số tự nhiên bằng (n (n + 1) 2 ) 2 với mọi số tự nhiên n.
Giải pháp :
Trong tuyên bố đã cho, chúng tôi được yêu cầu chứng minh:
1 3 +2 3 +3 3 + ⋯ + n 3 = ( n (n + 1) 2 ) 2
Bước 1: Bây giờ với sự trợ giúp của nguyên lý quy nạp trong toán học, chúng ta hãy kiểm tra tính hợp lệ của câu lệnh P (n) đã cho với n = 1.
P (1) = ( 1 (1 + 1) 2 ) 2 = 1 Điều này đúng.
Bước 2: Bây giờ khi phát biểu đã cho là đúng với n = 1, chúng ta sẽ tiếp tục và thử chứng minh điều này cho n = k, tức là,
1 3 +2 3 +3 3 + ⋯ + k 3 = ( k (k + 1) 2 ) 2 .
Bước 3: Bây giờ chúng ta hãy thử thiết lập P (k + 1) cũng đúng.
1 3 +2 3 +3 3 + ⋯ + k 3 + (k + 1) 3 = ( k (k + 1) 2 ) 2 + (k + 1) 3
⇒ 1 3 +2 3 +3 3 + ⋯ + k 3 + (k + 1) 3 = k 2 (k + 1) 4 + (k + 1) 3
= k 2 (k + 1) 2 +4 ((k + 1) 3 ) 4
= (k + 1) 2 (k 2 +4 (k + 1)) 4
= (k + 1) 2 (k 2 + 4k + 4) 4
= (k + 1) 2 ((k + 2) 2 ) 4
= (k + 1) 2 (k + 1 + 1) 2 ) 4
= (k + 1) 2 ((k + 1) +1) 2 ) 4
Ví dụ 2 : Chứng tỏ rằng 1 + 3 + 5 +… + (2n − 1) = n 2
Giải pháp :
Bước 1: Kết quả đúng với n = 1
Đó là 1 = (1) 2 (Đúng)
Bước 2 : Giả sử rằng kết quả là đúng với n = k
1 + 3 + 5 +… + (2k − 1) = k 2
Bước 3 : Kiểm tra n = k + 1
tức là 1 + 3 + 5 +… + (2 (k + 1) −1) = (k + 1) 2
Chúng ta có thể viết phương trình trên dưới dạng,
1 + 3 + 5 +… + (2k – 1) + (2 (k + 1) −1) = (k + 1) 2
Sử dụng kết quả bước 2, chúng tôi nhận được
k 2 + (2 (k + 1) −1) = (k + 1) 2
k 2 + 2k + 2 −1 = (k + 1) 2
k 2 + 2k + 1 = (k + 1) 2
(k + 1) 2 = (k + 1) 2
LHS và RHS giống nhau.
Vì vậy, kết quả là đúng với n = k + 1
Bằng quy nạp toán học, tuyên bố là đúng.
Chúng ta thấy rằng mệnh đề đã cho cũng đúng với n = k + 1. Do đó, chúng ta có thể nói rằng theo nguyên tắc quy nạp toán học, phát biểu này đúng với mọi số tự nhiên n.
Ví dụ 3:
Chứng tỏ rằng 2 2n -1 chia hết cho 3 bằng cách sử dụng các nguyên tắc quy nạp toán học.
Để chứng minh: 2 2n -1 chia hết cho 3
Giả sử rằng câu lệnh đã cho là P (k)
Do đó, câu lệnh có thể được viết dưới dạng P (k) = 2 2n -1 chia hết cho 3, với mọi số tự nhiên
Bước 1: Trong bước 1, giả sử n = 1, để câu lệnh đã cho có thể được viết dưới dạng
P (1) = 2 2 (1) -1 = 4-1 = 3. Vậy 3 chia hết cho 3. (tức là 3/3 = 1)
Bước 2: Bây giờ, giả sử rằng P (n) đúng với mọi số tự nhiên, giả sử k
Do đó, câu lệnh đã cho có thể được viết dưới dạng
P (k) = 2 2k -1 chia hết cho 3.
Có nghĩa là 2 2k -1 = 3a (trong đó a thuộc số tự nhiên)
Bây giờ, chúng ta cần chứng minh tuyên bố là đúng với n = k + 1
Vì thế,
P (k + 1) = 2 2 (k + 1) -1
P (k + 1) = 2 2k + 2 -1
P (k + 1) = 2 2k . 2 2 – 1
P (k + 1) = (2 2k . 4) -1
P (k + 1) = 3. 2 k + (2 2k -1)
Biểu thức trên có thể được viết dưới dạng
P (k + 1) = 3,2 2k + 3a
Bây giờ, đưa 3 người ra ngoài, chúng tôi nhận được
P (k + 1) = 3 (2 2k + a) = 3b, trong đó “b” thuộc số tự nhiên
Chứng minh rằng p (k + 1) đúng, bất cứ khi nào mệnh đề P (k) đúng.
Do đó, 2 2n -1 chia hết cho 3 được chứng minh bằng cách sử dụng các nguyên tắc quy nạp toán học
Thực hành các vấn đề
- Chứng minh rằng 1 × 1! + 2 × 2! + 3 × 3! +… + N × n! = (n + 1)! – 1 cho tất cả các số tự nhiên sử dụng nguyên tắc quy nạp toán học.
- Chứng minh rằng 4 n – 1 chia hết cho 3 bằng nguyên tắc quy nạp toán học
Sử dụng các nguyên tắc quy nạp toán học để chứng minh rằng 2 + 4 + 6 +… + 2n = n 2 + n, với mọi số tự nhiên
Câu hỏi thường gặp về Nguyên tắc cảm ứng toán học
Quy nạp toán học có nghĩa là gì?
Quy nạp toán học được định nghĩa là một phương pháp, được sử dụng để thiết lập kết quả cho các số tự nhiên. Nói chung, phương pháp này được sử dụng để chứng minh phát biểu hoặc định lý là đúng với mọi số tự nhiên
Viết ra hai bước liên quan đến nguyên tắc quy nạp toán học?
Hai bước liên quan đến việc chứng minh câu lệnh là:
Chứng minh rằng câu lệnh đã cho đúng với giá trị ban đầu. Đây được gọi là bước cơ sở
Trong bước 2, chứng minh rằng câu lệnh đúng với giá trị thứ n và cũng chứng minh điều đó đúng với lần lặp thứ (n + 1). Bước này được gọi là bước cảm ứng
Tại sao chúng ta sử dụng quy nạp toán học?
Quy nạp toán học thường được sử dụng để chứng minh rằng mệnh đề đã cho đúng với tất cả các số tự nhiên.
Cảm ứng yếu và mạnh có nghĩa là gì?
Trong quy nạp yếu, giả thiết rằng chỉ có một câu lệnh cụ thể đúng ở bước thứ k. Nhưng trong quy nạp mạnh, phát biểu đã cho đúng cho tất cả các bước từ cơ sở đến bước thứ k.
Đề cập đến ba loại quy nạp toán học khác nhau
Các dạng khác nhau của quy nạp toán học là:
Nguyên tắc thứ nhất của quy nạp toán học
Nguyên tắc thứ hai của quy nạp toán học
Nguyên lý thứ hai của quy nạp toán học (biến thể)
Xem thêm:
Sự khác biệt giữa lỗi thời gian biên dịch và lỗi thời gian chạy
