Contents
Quy tắc nhân của phát biểu xác suất và chứng minh
Chúng ta biết rằng xác suất có điều kiện của sự kiện A cho rằng B đã xảy ra được ký hiệu là P (A | B) và được cho bởi:
P( A | B ) = P( A ∩ B )P( B )
Trong đó, P (B) ≠ 0
P (A∩B) = P (B) × P (A | B) …………………………………… .. (1)
P( B | A ) = P( B ∩ A )P( A )
Trong đó, P (A) ≠ 0.
P (B∩A) = P (A) × P (B | A)
Vì P (A∩B) = P (B∩A)
P (A∩B) = P (A) × P (B | A) ……………………………………… (2)
Từ (1) và (2), chúng ta nhận được:
P (A∩B) = P (B) × P (A | B) = P (A) × P (B | A) trong đó,
P (A) ≠ 0, P (B) ≠ 0.
Kết quả trên được gọi là quy tắc nhân xác suất.
Đối với các sự kiện độc lập A và B, P (B | A) = P (B). Phương trình (2) có thể được sửa đổi thành,
P (A∩B) = P (B) × P (A)
Định lý nhân trong xác suất
Chúng ta đã học các quy tắc nhân mà chúng ta tuân theo trong xác suất, chẳng hạn như;
P (A∩B) = P (A) × P (B | A); nếu P (A) ≠ 0
P (A∩B) = P (B) × P (A | B); nếu P (B) ≠ 0
Chúng ta hãy tìm hiểu ở đây các định lý nhân cho các sự kiện A và B độc lập.
Nếu A và B là hai sự kiện độc lập đối với một thí nghiệm ngẫu nhiên, thì xác suất xảy ra đồng thời của hai sự kiện độc lập sẽ bằng tích các xác suất của chúng. Vì thế,
P (A∩B) = P (A) .P (B)
Bây giờ, từ quy tắc nhân chúng ta biết;
P (A∩B) = P (A) × P (B | A)
Vì A và B độc lập, do đó;
P (B | A) = P (B)
Do đó, một lần nữa chúng ta nhận được;
P (A∩B) = P (A) .P (B)
Do đó, đã chứng minh.
Thí dụ
Hình minh họa 1: Một cái lọ đựng 20 quả bóng màu đỏ và 10 quả bóng màu xanh. Hai quả bóng lần lượt được lấy ra từ một túi mà không cần thay thế. Xác suất để cả hai quả bóng được rút ra đều có màu đỏ?
Lời giải: Gọi A và B là các sự kiện mà quả bóng thứ nhất và quả bóng thứ hai được rút ra là quả bóng màu đỏ. Ta phải tìm P (A∩B) hoặc P (AB).
P (A) = P (các quả bóng màu đỏ trong lần rút thăm đầu tiên) = 20/30
Bây giờ, trong túi chỉ còn lại 19 quả bóng đỏ và 10 quả bóng xanh. Xác suất rút được một quả bóng đỏ trong lần hòa thứ hai cũng là một ví dụ về xác suất có điều kiện trong đó việc vẽ quả bóng thứ hai phụ thuộc vào việc vẽ quả bóng thứ nhất.
Do đó xác suất có điều kiện của B trên A sẽ là,
P (B | A) = 19/29
Theo quy tắc nhân xác suất,
P (A∩B) = P (A) × P (B | A)
P( A ∩ B ) = 2030 × 1929 = 3887
Xem thêm:
Sự khác biệt giữa Vòng lặp While và Do While
Sự khác biệt giữa Danh sách, Tuple, Tập hợp và Từ điển trong Python
