Đại diện
Tích phân của một hàm f (x) được cho bởi F (x) và nó được biểu diễn bởi:
| ∫f (x) dx = F (x) + C |
Đây,
RHS của phương trình có nghĩa là tích phân f (x) đối với x.
F (x) được gọi là phản đạo hàm hay nguyên hàm.
f (x) được gọi là tích phân.
dx được gọi là tác nhân tích phân.
C được gọi là hằng số tích phân hoặc hằng số tùy ý.
x là biến của tích phân.
Để hiểu khái niệm này, chúng ta hãy giải một số ví dụ.
Các ví dụ
Ví dụ- Tích phân 2cos 2 x với x.
Giải pháp- Để tích các hàm lượng giác đã cho, chúng ta sẽ sử dụng đồng dạng lượng giác –
cos2x = (1 + cos2 x2)
Hình thành danh tính này 2cos2x = 1 + cos2 x
Thay giá trị trên vào tích phân đã cho, chúng ta có
∫2cos2x dx = ∫( 1 + cos2 X ) . Dx – (1)
Theo các tính chất của tích phân, tích phân của tổng hai hàm bằng tổng tích phân của các hàm đã cho, tức là
∫[ f( x ) + g( x ) ] dx = ∫f( x ) . dx + ∫g( x ) . dx
Do đó phương trình 1 có thể được viết lại thành:
∫( 1 + c o s 2 x ) dx = ∫1 ngàyx + ∫c o s 2 x dx
= x +không có2 x2+ C
Điều này cho chúng ta sự tích hợp bắt buộc của hàm đã cho.
Ví dụ- Tích phân sin 4x cos 3x đối với x.
Giải pháp- Để tích phân hàm lượng giác, chúng ta sẽ sử dụng đồng dạng lượng giác:
không cóx cosY=12[ không có( x + y) + không có( x – y) ]
Hình thành danh tính nàykhông có4 x cos3 x =12( không có7 x + không cóx )
Vì thế,
∫( không có4 x cos3 x ) dx = ∫12( không có7 x + không cóx ) dx
Từ phương trình trên ta có:
∫12( không có7 x + không cóx ) dx =12∫( không có7 x + không cóx ) dx ………… (ii)
Theo các tính chất của tích phân, tích phân của tổng hai hàm bằng tổng tích phân của các hàm đã cho, tức là
∫[ f( x ) + g( x ) ] dx = ∫f( x ) . dx + ∫g( x ) . dx
Do đó phương trình 2 có thể được viết lại thành:
12∫( không có7 x ) +12∫( không cóx ) dx
= – cos7 x14+– cosx2+ C
Điều này cho chúng ta sự tích hợp bắt buộc của hàm đã cho.
Ví dụ- Tích hợp không có2x .cos2x.
Giải pháp- Trước khi tích phân, chúng ta hãy sử dụng một số quan hệ lượng giác để đơn giản hóa tích phân.
Chúng tôi biết, 2 tội lỗix cosx = không có2 x
không cóx . cosx =không có2 x2
Thay thế giá trị trong tích hợp đã cho, chúng ta có
∫không có2x .cos2xdx = ∫( không cóx . cosx)2dx = ∫(không có2 x2)2
=14∫không có22 x ………(Tôi)
Ngoài ra chúng tôi biết không có2x =1 – cos2 x2
Thay giá trị trên vào phương trình (i), ta có
14∫không có22 x =14∫1 – cos4 x2
= ∫1số 8dx – ∫cos4 xsố 8dx
=1số 8x +C1–không có4 x32+C2
=1số 8x –không có4 x32+ C<
