Định nghĩa tích phân dòng
Tích phân đường là tích phân trong đó hàm tích phân được xác định dọc theo một đường cong trong hệ tọa độ . Hàm được tích hợp có thể là trường vô hướng hoặc trường vectơ. Chúng ta có thể tích hợp một hàm có giá trị vô hướng hoặc hàm có giá trị vectơ dọc theo một đường cong. Giá trị của tích phân đoạn thẳng có thể được đánh giá bằng cách cộng tất cả các giá trị của các điểm trên trường vectơ.
Công thức tích phân dòng
Tích phân dòng cho công thức trường vô hướng và trường vectơ được đưa ra dưới đây:
Công thức tích phân đường cho trường vô hướng
Đối với trường vô hướng có hàm f: U ⊆ R n → R, tích phân đường cùng với đường cong trơn, C ⊂ U được định nghĩa là:
∫ C f (r) ds =∫baf [r (t)] | r ‘(t) | dt
Ở đây, r: [a, b] → C là một tham số phân giác tùy ý của đường cong.
r (a) và r (b) cho điểm cuối của C và a <b.
Công thức tích phân dòng cho trường vectơ
Đối với trường vectơ có hàm, F: U ⊆ R n → R n , tích phân đường cùng với đường cong trơn C ⊂ U, theo hướng “r” được xác định là:
∫ C F (r). dr =∫baF [r (t)]. r ‘(t) dt.
Đây, “.” đại diện cho sản phẩm chấm.
Ứng dụng của tích phân dòng
Tích phân dòng có một số ứng dụng. Tích phân đường được sử dụng để tính diện tích bề mặt trong mặt phẳng ba chiều. Một số ứng dụng của tích phân đoạn thẳng trong phép tính vectơ như sau:
- Một tích phân đường được sử dụng để tính khối lượng của dây.
- Nó giúp tính toán mômen quán tính và khối lượng tâm của dây.
- Nó được sử dụng trong Định luật Ampere để tính từ trường xung quanh một vật dẫn.
- Trong Định luật Cảm ứng Từ của Faraday, tích phân đường giúp xác định điện áp tạo ra trong một vòng lặp.
- Tích phân đường giúp tính toán công được thực hiện bởi một lực lên một đối tượng chuyển động trong trường vectơ.
Ví dụ về tích phân dòng
Xem qua ví dụ tích phân dòng được đưa ra dưới đây:
Ví dụ: Đánh giá tích phân đường ∫ C F. dr trong đó F (x, y, z) = [P (x, y, z), Q (x, y, z), R (x, y, z)] = (z, x, y) và C được xác định bởi phương trình tham số, x = t 2 , y = t 3 và z = t 2 , 0 ≤ t ≤ 1.
Giải pháp:
Cho rằng, hàm, F (x, y, z) = [P (x, y, z), Q (x, y, z), R (x, y, z)] = (z, x, y )
Phương trình tham số: x = t 2 , y = t 3 và z = t 2 , 0 ≤ t ≤ 1.
Chúng ta biết rằng,
∫ C F. dr = ∫ C P dx + Q dy + R dz
∫ C F. dr =∫10 z (t) x ‘(t) dt + x (t) y’ (t) dt + y (t) z ‘(t) dt
= ∫10t 2 (2t) dt + t 2 (3t 2 ) dt + t 3 (2t) dt
= ∫102t 3 dt + 3t 4 dt + 2t 4 dt
= ∫10(5t 4 + 2t 3 ) dt
= ( 5t55+ 2t44)10
Thay thế các giới hạn, chúng tôi nhận được,
∫ C F. dr = 3/2
Do đó, tích phân đường của hàm số đã cho là 3/2.
Xem thêm:
