Ma trận khả nghịch là gì? xem xong 5 phút hiểu luôn.

Ma trận Invertible là gì?

Ma trận A có kích thước nxn được gọi là khả nghịch nếu và chỉ khi tồn tại một ma trận B khác có cùng chiều, sao cho AB = BA = I, trong đó I là ma trận đồng nhất cùng bậc. Ma trận B được gọi là nghịch đảo của ma trận A. Nghịch đảo của ma trận A được biểu thị bằng A ^-1 . Ma trận khả nghịch còn được gọi là ma trận không kỳ dị hoặc ma trận không sinh.

Ví dụ, ma trận A và B được đưa ra dưới đây:

Bây giờ chúng ta nhân A với B và thu được một ma trận nhận dạng:

Tương tự, khi nhân B với A, chúng ta thu được cùng một ma trận đồng nhất:

Ở đây có thể kết luận rằng AB = BA = I. Do đó A ^-1 = B, và B được gọi là nghịch đảo của A. Tương tự, A cũng có thể được gọi là nghịch đảo của B, hoặc B ^-1 = A.

Một ma trận vuông không khả nghịch được gọi là số ít hoặc suy biến. Ma trận vuông được gọi là số ít nếu và chỉ khi giá trị của định thức của nó bằng không. Ma trận số ít là duy nhất theo nghĩa là nếu các phần tử của ma trận vuông được chọn ngẫu nhiên từ bất kỳ vùng hữu hạn nào trên trục số hoặc mặt phẳng phức, thì xác suất ma trận là số ít là 0, có nghĩa là, nó sẽ “hiếm khi” là số ít.

Định lý ma trận khả nghịch

Định lý 1

Nếu tồn tại một nghịch đảo của ma trận vuông thì nó luôn là duy nhất.

Bằng chứng:

Giả sử A là ma trận vuông bậc nx n. Giả sử ma trận B và C là nghịch đảo của ma trận A.

Bây giờ AB = BA = I vì B là nghịch đảo của ma trận A.

Tương tự, AC = CA = I.

Nhưng, B = BI = B (AC) = (BA) C = IC = C

Điều này chứng tỏ B = C, hoặc B và C là cùng một ma trận.

Định lý 2:

Nếu A và B là các ma trận cùng bậc và khả nghịch thì (AB) ^-1 = B ^-1 A ^-1 .

Bằng chứng:

(AB) (AB) ^-1 = I (Từ định nghĩa nghịch đảo của ma trận)

A ^-1 (AB) (AB) ^-1 = A ^-1 I (Nhân A ^-1 với cả hai vế)

(A ^-1 A) B (AB) ^-1 = A ^-1                                    (A ^-1 I = A ^-1 )

IB (AB) ^-1 = A ^-1

B (AB) ^-1 = A ^-1

B ^-1 B (AB) ^-1 = B ^-1 A ^-1

I (AB) ^-1 = B ^-1 A ^-1

(AB) ^-1 = B ^-1 A ^-1

Phương pháp đảo ngược ma trận

Nghịch đảo ma trận là phương pháp tìm ma trận khác, giả sử B thỏa mãn phương trình trước của ma trận khả nghịch đã cho, giả sử A. Có thể tìm thấy nghịch đảo ma trận bằng các phương pháp sau:

• Phép loại trừ Gaussian
• Phương pháp Newton
• Phương pháp Cayley-Hamilton
• Phương pháp phân hủy riêng

Các ứng dụng của Ma trận có thể đảo ngược

Đối với nhiều ứng dụng thực tế, nghiệm của hệ phương trình phải là duy nhất và ma trận liên quan phải khả nghịch. Các ứng dụng đó là:

• Bình phương tối thiểu hoặc hồi quy
• Mô phỏng
• Truyền thông không dây MIMO

Ví dụ về ma trận có thể đảo ngược

Bây giờ, hãy xem qua ví dụ đã giải dưới đây để hiểu ma trận có thể nghịch đảo và cách xác minh mối quan hệ giữa nghịch đảo ma trận và ma trận nhận dạng.

Ví dụ: NếuA = [– 3510] và B = [011535], sau đó chứng tỏ rằng A là ma trận khả nghịch và B là ma trận nghịch đảo của nó.

Giải pháp:

Được,

A = [– 3510] và B = [011535]

Bây giờ, tìm định thức của A,

| A | =∣∣∣– 3510∣∣∣

= -3 (0) – 1 (5)

= 0 – 5

= -5 ≠ 0

Do đó, A là một ma trận khả nghịch.

Chúng ta biết rằng, nếu A khả nghịch và B là nghịch đảo của nó, thì AB = BA = I, trong đó I là ma trận nhận dạng.

AB = BA = I

Do đó, ma trận A là khả nghịch và ma trận B là nghịch đảo của nó.

Tính chất

Dưới đây là các thuộc tính sau được lưu giữ cho một ma trận khả nghịch A:

• (A ⁻¹ ) ⁻¹  = A
• (kA) ⁻¹  = k ⁻¹ A ⁻¹  với mọi vô hướng khác nhau k
• (Ax) ⁺ = x ⁺ A ⁻¹  nếu A có các cột trực chuẩn, trong đó + biểu thị nghịch đảo Moore – Penrose và x là một vectơ
• (A ^T ) ⁻¹  = (A ⁻¹ ) ^T
• Đối với ma trận nxn khả nghịch bất kỳ A và B, (AB) ⁻¹  = B ⁻¹ A ⁻¹ . Cụ thể hơn, nếu A ₁ , A ₂ …, A _k  là các ma trận nxn khả nghịch, thì (A ₁ A ₂ ⋅⋅⋅A _k-1 A _k ) ⁻¹  = A ⁻¹ _k A ⁻¹ _{k − 1} ⋯ A ^{– 1} ₂ A ⁻¹ ₁
• A ⁻¹  = (A) ⁻¹

• Những từ tiếng anh hay và ý nghĩa nhất
• Giới từ at, on, in được dùng như thế ? Cùng tìm hiểu.
• Bảng tính số hợp lý là gì? Xem xong 5 phút hiểu luôn.