Định nghĩa Eigenvector

Bậc riêng của ma trận vuông được định nghĩa là một không vectơ mà khi nhân một ma trận đã cho, nó sẽ bằng bội số vô hướng của vectơ đó. Giả sử A là một ma trận vuông nxn và nếu v là một vectơ khác 0, thì tích của ma trận A và vectơ v được xác định là tích của một đại lượng vô hướng λ và vectơ đã cho, sao cho:

Av = λv

Ở đâu

v = Eigenvector và λ là đại lượng vô hướng được gọi là giá trị riêng liên kết với ma trận A đã cho

Phương trình Eigenvector

Phương trình tương ứng với mỗi giá trị riêng của ma trận được đưa ra bởi:

AX = λ X

Nó chính thức được gọi là phương trình eigenvector .

Thay cho λ, hãy thay thế từng giá trị riêng và nhận được phương trình ký hiệu riêng cho phép chúng ta giải mã hiệu riêng thuộc từng giá trị riêng.

Phương pháp Eigenvector

Phương pháp xác định hiệu riêng của ma trận được đưa ra như sau:

Nếu A là một ma trận n × n và λ là các giá trị riêng đi kèm với nó. Sau đó, eigenvector v có thể được định nghĩa theo quan hệ sau: Av = λv

Nếu “I” là ma trận nhận dạng có cùng thứ tự với A, thì

(A – λI) v = 0

Bộ ký hiệu liên kết với ma trận A có thể được xác định bằng cách sử dụng phương pháp trên.

Ở đây, “v” được gọi là eigenvector thuộc mỗi giá trị eigen và được viết là:

v =⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢v1v2..vn⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥

Làm thế nào để Tìm một Eigenvector?

Để tìm các ký tự riêng của ma trận, hãy làm theo quy trình được đưa ra dưới đây:

1. Tìm các giá trị riêng của ma trận A đã cho, sử dụng phương trình det ((A – λI) = 0, trong đó “I” là ma trận nhận dạng bậc tương đương là A. Biểu thị từng giá trị riêng của λ ₁ , λ ₂ , λ ₃ ….
2. Thay các giá trị vào phương trình AX = λ ₁ hoặc (A – λ ₁ I) X = 0.
3. Tính giá trị của eigenvector X, được liên kết với eigenvalue.
4. Lặp lại các bước để tìm eigenvector cho các giá trị eigenve còn lại.

Các loại Eigenvector

Các eigenvectors có hai loại, cụ thể là,

• Eigenvector trái
• Eigenvector bên phải

Eigenvector trái

Ký tự riêng bên trái được biểu diễn dưới dạng một vectơ hàng thỏa mãn điều kiện sau:

AX _L = λX _L

Ở đâu

A là một ma trận cho trước có bậc n và λ là một trong các giá trị riêng của nó.

X _L là một vectơ hàng của ma trận. Tôi, e., [X ₁ x ₂ x ₃ …. X _n ]

Eigenvector bên phải

Dấu hiệu bên phải được biểu diễn dưới dạng một vectơ cột thỏa mãn điều kiện sau:

AX _R = λX _R

Ở đâu

A là một ma trận cho trước có bậc n và λ là một trong các giá trị riêng của nó.

X _R là một vectơ cột của ma trận. I E.,XR=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢x1x2..xn⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥

Ứng dụng Eigenvector

Ứng dụng quan trọng của eigenvectors như sau:

• Eigenvector được sử dụng trong Vật lý ở chế độ dao động đơn giản
• Trong Toán học, phép phân rã eigenvector được sử dụng rộng rãi để giải phương trình tuyến tính bậc nhất, trong ma trận xếp hạng, trong phép tính vi phân, v.v.
• Khái niệm này được sử dụng rộng rãi trong cơ học lượng tử
• Nó được áp dụng trong hầu hết các ngành của kỹ thuật

Ví dụ về Eigenvector

Ví dụ: Tìm ký hiệu riêng của ma trận đã cho:

A = [1– 44– 7]Giải pháp:

Được: A = [1– 44– 7]

| A–λI| =∣∣∣1 – λ– 44– 7 – λ∣∣∣(1- λ) (- 7- λ) – 4 (-4) = 0

(λ + 3) ² = 0

Do đó, λ = -3, -3

Sử dụng phương trình eigenvector

AX = λX

Thay thế giá trị λ trong phương trình:

AX = -3X

Chúng ta biết rằng,

(A- λI) X = 0

( [1– 44– 7] + [3003] )[xY] = [00]4x + 4y = 0

Hoặc là

x + y = 0

Giả sử rằng x = k

Vì vậy, nó trở thành

k + y = 0

y = -k

Do đó, eigenvector là

X= [xY] =k [1– 1]Bây giờ, hãy hiểu cách chúng ta có thể tìm giá trị riêng của ma trận cùng với một ví dụ đã giải ở đây.

Eigenvalue của ma trận

Các giá trị riêng thường được kết hợp với các giá trị riêng trong Đại số tuyến tính. Cả hai thuật ngữ này đều được sử dụng trong việc giải thích các phép biến đổi tuyến tính. Như chúng ta đã biết, giá trị riêng là tập hợp các giá trị vô hướng cụ thể liên quan đến phương trình tuyến tính, có lẽ nhiều nhất trong phương trình ma trận.

Để xác định các giá trị riêng, trước tiên, chúng ta phải xác định các giá trị riêng. Hầu như tất cả các vectơ đều thay đổi hướng khi chúng được nhân với A. Một số vectơ hiếm nói rằng x cùng hướng với Ax. Đây là những “người di cư”. Nhân một eigenvector với A, và vectơ Ax là số thời gian của x ban đầu. Phương trình cơ bản được đưa ra bởi:

Ax = λx.

Ở đây, số λ là một giá trị riêng của ma trận A.

Đăng ký với BYJU’S – Ứng dụng Học tập cho tất cả các khái niệm liên quan đến Toán học.