Định nghĩa liên tục
Nhiều hàm có đặc tính là chúng có thể theo dõi đồ thị của chúng bằng bút chì mà không cần nhấc bút chì khỏi bề mặt giấy. Các loại chức năng này được gọi là liên tục. Nói một cách trực quan, một hàm số là liên tục tại một điểm cụ thể nếu không có sự phá vỡ nào trong đồ thị của nó tại điểm đó. Một định nghĩa chính xác về tính liên tục của một hàm thực thường được cung cấp trong khóa học nhập môn giải tích dưới dạng ý tưởng của một giới hạn. Đầu tiên, một hàm f với biến x liên tục tại điểm “a” trên đường thực, nếu giới hạn của f (x), khi x tiến tới điểm “a”, bằng giá trị của f (x) tại “A”, tức là, f (a). Thứ hai, hàm (nói chung) là liên tục, nếu nó liên tục tại mọi điểm trong miền của nó.
Về mặt toán học, tính liên tục có thể được định nghĩa như sau:
Một hàm được cho là liên tục tại một điểm cụ thể nếu ba điều kiện sau được thỏa mãn.
- f (a) được xác định
- limx → af( x ) tồn tại
- limx →a+f( x ) =limx →a–f( x ) = f( a )
Như đã đề cập trước đây, một hàm được cho là liên tục nếu bạn có thể theo dõi đồ thị của nó mà không cần nhấc bút ra khỏi giấy. Nhưng một chức năng được cho là không liên tục khi nó có bất kỳ khoảng trống nào ở giữa.
Hình dưới đây cho thấy đồ thị của một hàm số liên tục .
Các loại gián đoạn
Về cơ bản có hai loại gián đoạn:
- Sự gián đoạn vô hạn
- Gián đoạn nhảy
Sự gián đoạn vô hạn
Một nhánh của sự gián đoạn trong đó, một tiệm cận đứng có mặt tại x = a và f (a) không được xác định. Điều này còn được gọi là Asymptotic Discontinuity. Nếu một hàm có các giá trị ở cả hai phía của một tiệm cận, thì nó không thể được kết nối, vì vậy nó không liên tục tại tiệm cận. Điều này có thể được hiển thị bằng cách sử dụng đồ thị dưới đây .
Gián đoạn nhảy
Một nhánh của sự gián đoạn trong đó limx →a+f( x ) ≠limx →a–f( x ), nhưng cả hai giới hạn đều hữu hạn. Đây cũng được gọi là sự gián đoạn đơn giản hoặc sự liên tục của loại thứ nhất. Biểu diễn đồ họa của sự gián đoạn bước nhảy được đưa ra dưới đây .
Ngừng tích cực
Một nhánh của sự gián đoạn trong đó một hàm có giới hạn hai phía d được xác định trước tại x = a, nhưng f (x) là không xác định tại a hoặc giá trị của nó không bằng giới hạn tại a . Đây cũng được gọi là sự gián đoạn có thể tháo rời.
Về mặt đồ họa, điều này có thể được hiển thị như sau:
Định nghĩa giới hạn
Giới hạn của một hàm là một số mà một hàm đạt tới khi biến độc lập của hàm đạt một giá trị cho trước. Giá trị (nói một) mà hàm f (x) được gần tùy tiện như giá trị của biến độc lập x trở nên gần gũi tùy tiện để một cho giá trị “A” tượng trưng như f (x) = A.
Những điểm cần nhớ:
- Nếu lim x → a- f (x) là giá trị kỳ vọng của f tại x = a cho trước thì các giá trị của ‘f’ gần x bên trái của a. Giá trị này được gọi là giới hạn bên trái của ‘f’ tại a.
- Nếu lim x → a + f (x) là giá trị kỳ vọng của f tại x = a cho trước thì các giá trị của ‘f’ gần x ở bên phải a. Giá trị này được gọi là giới hạn bên phải của f (x) tại a.
- Nếu giới hạn bên phải và bên trái trùng nhau, ta nói giá trị chung là giới hạn của f (x) tại x = a và ký hiệu là lim x → a f (x).
Giới hạn một mặt
Giới hạn hoàn toàn dựa trên các giá trị của một hàm được lấy tại giá trị x lớn hơn hoặc nhỏ hơn một chút so với một giá trị cụ thể. Giới hạn hai mặt limx → af( x )nhận các giá trị của x vừa lớn hơn vừa nhỏ hơn a . Giới hạn một phía từ bên trái limx →a–f( x ) hoặc từ bên phải limx →a–f( x )chỉ nhận các giá trị của x nhỏ hơn hoặc lớn hơn a tương ứng.
Thuộc tính của giới hạn
- Giới hạn của hàm được biểu diễn dưới dạng f (x) đạt đến L vì x có xu hướng giới hạn a, sao cho; lim x → a f (x) = L
- Giới hạn tổng của hai hàm số bằng tổng giới hạn của chúng, sao cho: lim x → a [f (x) + g (x)] = lim x → a f (x) + lim x → a g (x)
- Giới hạn của bất kỳ hàm hằng số nào là một số hạng không đổi, sao cho lim x → a C = C
- Giới hạn của tích của hằng số và hàm số bằng tích của hằng số và giới hạn của hàm số, sao cho: lim x → a mf (x) = m lim x → a f (x)
- Quy tắc Thương số: lim x → a [f (x) / g (x)] = lim x → a f (x) / lim x → a g (x); nếu lim x → a g (x) ≠ 0
Các ví dụ
1). Tính toánlimx → – 2( 3x2+ 5 x – 9 )
Giải pháp:
Đầu tiên, sử dụng thuộc tính 2 để chia giới hạn thành ba giới hạn riêng biệt. Sau đó, sử dụng thuộc tính 1 để đưa các hằng số ra khỏi hai hằng số đầu tiên. Điều này mang lại,
limx → – 2( 3x2+ 5 x – 9 ) =limx → – 2( 3x2) +limx → – 2( 5 x ) –limx → – 2( 9 )
= 3 ( – 2)2+ 5 ( – 2 ) – ( 9 )
= 12 – 10 – 9
= -7
2). Tìm giá trị của lim x → 3 [x (x + 2)].
Giải pháp:
lim x → 3 [x (x + 2)] = 3 (3 + 2) = 3 x 5 = 15
Câu hỏi thường gặp về giới hạn và tính liên tục – Câu hỏi thường gặp
Làm thế nào để bạn tìm thấy giới hạn và tính liên tục của một hàm?
Các giới hạn liên quan đến tính liên tục như thế nào?
3 điều kiện của sự liên tục là gì?
1. f (a) được xác định
2. tồn tại lim_ {x → a} f (x)
3. lim_ {x → a +} f (x) = lim_ {x → a-} f (x) = f (a)