Giới thiệu Giới hạn và Phái sinh
Ngài Issac Newton, dựa trên các khái niệm về tỷ lệ và sự thay đổi của mình, đã đặt ra các định luật cơ bản của phép tính vi phân và phép tính tích phân được đưa ra như một quá trình ngược lại. Những kiến thức cơ bản của phân biệt và giải tích đóng vai trò là nền tảng cho toán học nâng cao, vật lý hiện đại và nhiều ngành khác của khoa học và kỹ thuật hiện đại. Giới hạn và đạo hàm lớp 11 đóng vai trò là điểm đầu vào để tính toán cho sinh viên CBSE.
Giới hạn của một chức năng
Trong Toán học, một giới hạn được định nghĩa là một giá trị mà một hàm tiếp cận làm đầu vào và nó tạo ra một số giá trị. Giới hạn rất quan trọng trong giải tích và phân tích toán học và được sử dụng để xác định tích phân, đạo hàm và tính liên tục.
Giới hạn trình bày
Để thể hiện giới hạn của một hàm, chúng tôi biểu diễn nó như sau:
limn → cf( n ) = L |
Công thức giới hạn
Sau đây là các công thức giới hạn quan trọng:
Giới hạn của các hàm lượng giác quan trọng:
- limx → 0s i n x = 0
- limx → 0cosx=1
- limx → 01−cosxx= 0
- limx → 0s tôin– 1xx= 1
- limx → 0t an– 1xx= 1
- limx → 0s tôi n xx= 1
- limx → 0t a n xx= 1
Quy tắc của L’hospital:
limx → af( x )g( x )=f′( a )g′( a ) , nếu dạng 0/0.limx → af( x )g( x )
Trong đó, f (a) = 0 và g (a) = 0.
Giới hạn của hàm mũ và hàm nhật ký:
- limx → 0ex= 1
- limx → 0ex– 1x= 1
- limx → ∞( 1 +1x)x= e
- limx → ∞( 1 +ax)x=ea
- limx → 0( 1 + x)1x= e
- limx → 0ax– 1x= l hoặcgea
- limx → 0l o g( 1 + x )x= 1
X n Công thức:
limx → axn–anx – a= n ( a)n – 1
Làm thế nào để Kiểm tra Nếu Giới hạn Tồn tại?
Để kiểm tra xem có tồn tại giới hạn cho hàm f (x) tại x = a hay không,
Chúng tôi phải kiểm tra, nếu
Giới hạn bên tay trái = Giới hạn bên tay phải = f (A)
(tức là),limx →a–f( x ) =limx →a+f( x ) = f( a )
Thuộc tính của giới hạn
Gọi p và q là hai hàm và a là một giá trị sao cho tồn tại và .limx → ap ( x )limx → aq( x )
Các dẫn xuất của một hàm
Đạo hàm đề cập đến tốc độ thay đổi tức thời của một đại lượng đối với đại lượng kia. Nó giúp điều tra từng thời điểm bản chất của một số tiền. Đạo hàm của một hàm được biểu diễn trong công thức dưới đây.
Công thức phái sinh
limh → 0f( x + h ) – f( x )h |
Thuộc tính của phái sinh
Một số tính chất quan trọng của các dẫn xuất được đưa ra dưới đây:
Ví dụ về giới hạn và phái sinh
Ví dụ 1:
Tìm limx → 3x + 3
Giải pháp:
limx → 3x + 3 = 3 + 3 = 6Ví dụ 2:
Tìm đạo hàm của sin x tại x = 0.
Giải pháp:
Giả sử, f (x) = sin x
thì f ‘(0) = lim h → 0 [f (0 + h) – f (0)] / h
= lim h → 0 [sin (0 + h) – sin (0)] / h
= lim h → 0 [sin h] / h
= 1
Ví dụ 3:
Tínhlimx → 0s i n ( 2 + x ) – s i n ( 2 – x )x
Giải pháp:
Được:
limx → 0s i n ( 2 + x ) – s i n ( 2 – x )x
=limx → 02 c o s( 2 + x + 2 – x )2vâng tôi n2 + x – 2 + x2x
=limx → 02 c o s 2 s i n xx
=2 c o s 2limx → 0s tôi n xx
= 2 cos 2 (1) (Như, )limx → 0s tôi n xx= 1
Do đó,limx → 0s i n ( 2 + x ) – s i n ( 2 – x )x= 2 c o s 2
Câu hỏi thực hành từ giới hạn và phái sinh
- Đánh giálimx → 3x2– 9x – 3
- limx → 1x2+ 2 x + 5x2+ 1
- limx → 0s i n ( a + x ) – s i n ( a – x )x
- TínhdYdxmột tx = 1tôi fY=x–√+1x√
- Tìm đạo hàm của y = 1 – x 2 + x – 3x 4
Câu hỏi thường gặp về giới hạn và phái sinh
Xác định giới hạn trong Giải tích.
Giới hạn là một giá trị đặc biệt mà hàm tiếp cận như là đầu vào và tạo ra một số giá trị. Giới hạn được sử dụng để xác định tính liên tục, đạo hàm và tích phân của một hàm.
Định nghĩa các dẫn xuất.
Trong giải tích, đạo hàm là tốc độ thay đổi tức thời của một hàm đối với một biến số. Quá trình tìm đạo hàm của một hàm được gọi là phân biệt.
Sự khác biệt giữa đạo hàm và tích phân là gì?
Đạo hàm của hàm xác định độ dốc của đường cong, trong khi tích phân của hàm xác định diện tích bên dưới đường cong của hàm.
Đạo hàm có phải là hệ số góc không?
Vâng, một đạo hàm là tất cả về độ dốc. Đối với hàm, y = f (x), hệ số góc là tỷ số giữa sự thay đổi của y và sự thay đổi của x.
Đạo hàm của hàm số sin x là gì?
Đạo hàm của sin x là cos xie, (d / dx) sin x = cos x.
Xem thêm: