Tương tự như phân tích này, trong Toán học, việc sử dụng khái niệm tư duy toán học có thể được áp dụng để đi đến kết luận. Hãy xem xét một ví dụ toán học:
- Tất cả các số nằm trên trục số thực được gọi là số thực
- Tất cả các số thực lớn hơn 0 đều là số thực dương
- 25 là một số thực
Từ các câu trên, chúng ta có thể nói rằng nếu hai câu đầu đúng thì câu thứ ba chắc chắn đúng. Hãy để chúng tôi tìm hiểu thêm ở đây.
Cảm ứng toán học là gì?
Đó là nghệ thuật chứng minh bất kỳ phát biểu, định lý hoặc công thức nào được cho là đúng với mỗi và mọi số tự nhiên n .
Trong toán học, chúng ta bắt gặp nhiều phát biểu tổng quát d dưới dạng n . Để kiểm tra xem phát biểu đó có đúng với mọi số tự nhiên hay không, chúng ta sử dụng khái niệm quy nạp toán học.
Khái niệm cảm ứng này thường dựa trên khái niệm cờ domino rơi.
Nó giống như tất cả các quân cờ domino sẽ rơi xuống từng con một nếu con đầu tiên được sắp xếp trong hàng đợi bị đẩy. Tương tự như điều này trong quy nạp, chúng ta chứng minh rằng nếu một phát biểu đúng với số đầu tiên (n = 1) và sau đó chứng minh rằng nó đúng với số thứ n = k thì có thể tổng quát rằng mệnh đề đã cho là đúng với mọi n.
Điều quan trọng cần đề cập ở đây là tập N số tự nhiên là tập con nhỏ nhất của tập các số thực R với tính chất đã cho:
| Một tập hợp S được cho là quy nạp nếu 1 là một phần tử của S và x + 1 cũng là một phần tử của S khi cho rằng x là một phần tử của S. |
Bây giờ như N là một tập hợp con của quy nạp bộ R sau đó có thể kết luận rằng bất kỳ tập con của R đó là quy nạp phải bao gồm N.
Giả sử để tìm tổng các số tự nhiên dương ta sử dụng công thức:
| 1 + 2 + 3……… n = [n (n + 1) / 2] |
Nhưng công thức có hợp lệ không? Để kiểm tra tính hợp lệ của công thức đó, chúng tôi sử dụng quy nạp toán học. Chúng tôi kiểm tra tính hợp lệ cho giá trị nhỏ nhất có thể và sau đó tiếp tục cho các giá trị cao hơn và sau đó nếu nó đúng với giá trị cao hơn, chúng tôi chấp nhận tính hợp lệ cho toàn bộ n.
Các bước cảm ứng toán học
Dưới đây là các bước giúp chứng minh các câu lệnh toán học một cách dễ dàng.
Bước (i): Hãy giả sử một giá trị ban đầu của n mà câu lệnh là đúng. Ở đây, chúng ta cần chứng minh rằng câu lệnh đúng với giá trị ban đầu của n.
Bước (ii): Bây giờ, giả sử rằng câu lệnh đúng với bất kỳ giá trị nào của n, giả sử n = k. Sau đó, chứng minh mệnh đề đã cho là đúng với n = k + 1.
Bước (iii): Cuối cùng, chúng ta phải chia n = k + 1 thành hai phần; một phần là n = k (đã được chứng minh ở bước thứ hai), và chúng ta phải chứng minh phần còn lại.
Trong quy trình trên, việc chứng minh câu lệnh đã cho cho giá trị ban đầu được coi là bước cơ bản của quy nạp toán học và quy trình còn lại được gọi là bước quy nạp.
Ví dụ về cảm ứng toán học
Q.1: Chứng tỏ rằng, 1 + 2 + 3……… n = [n (n + 1) / 2] đúng với n = 5.
Lời giải: Cho trước, n = 5
Đầu tiên, chúng ta hãy tìm LHS = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
Bây giờ, RHS = [5 (5 + 1)] / 2 = (5 x 6) / 2 = 30/2 = 15
Vì, LHS = RHS
Do đó, 1 + 2 + 3……… n = [n (n + 1) / 2] đúng với n = 5.
Q.2: Chứng tỏ rằng 1 + 3 +… + (2n-1) = n 2 với n = 3.
Lời giải: Cho trước, n = 3
2n – 1 = (2 x 3) – 1 = 6 -1 = 5
Vì vậy, LHS = 1 + 3 + 5 = 9
RHS = 3 2 = 9
Vì, LHS = RHS
Do đó, 1 + 3 +…. + (2n-1) = n 2 với n = 3.
Vấn đề cảm ứng toán học
Thực hành các câu hỏi quy nạp toán học dưới đây để hiểu rõ hơn về khái niệm này.
- Sử dụng quy nạp toán học để chứng minh rằng 1⋅2⋅3 + 2⋅3⋅4 +… + n (n + 1) (n + 2) = [n (n + 1) (n + 2) (n + 3)] / 4 với n ∈ N.
- Chứng minh rằng 2 n > n với mọi số nguyên dương n.
3. Với mọi số nguyên dương n, chứng minh rằng 7 n – 3 n chia hết cho 4.
