Các bộ đếm có phân số nhanh gọn nhất bạn cần nhớ

Các bộ đếm có phân số – Kỹ thuật đơn giản hóa

Căn có thể được định nghĩa là một ký hiệu cho biết căn của một số. Căn bậc hai, căn bậc hai, căn bậc hai đều là căn. Bài viết này giới thiệu bằng cách xác định các thuật ngữ phổ biến trong các gốc phân số. Nếu n là số nguyên dương lớn hơn 1 và a là số thực thì;

ⁿ √a = a ^{1 / n} ,

trong đó n được gọi là chỉ số và a là bán kính, khi đó ký hiệu √ được gọi là  căn . Vế phải và vế trái của biểu thức này lần lượt được gọi là dạng lũy ​​thừa và dạng căn.

Làm thế nào để đơn giản hóa phân số với số căn?

Có hai cách để đơn giản hóa các căn bằng phân số, và chúng bao gồm:

• Đơn giản hóa một cơ số bằng cách bao thừa.
• Hợp lý hóa phân số hoặc loại bỏ căn khỏi mẫu số.

Đơn giản hóa các cấp độ bằng bao thanh toán

Hãy giải thích kỹ thuật này với sự trợ giúp của ví dụ bên dưới.

ví dụ 1

Đơn giản hóa biểu thức sau:

√27 / 2 x √ (1/108)

Giải pháp

Hai phân số căn có thể được kết hợp bằng cách tuân theo các mối quan hệ sau:

√a / √b = √ (a / b) và √ax √b = √ab

Vì thế,

√27 / 2 x √ (1/108)

= √27 / √4 x √ (1/108)

= √ (27/4) x √ (1/108)

= √ (27/4) x √ (1/108) = √ (27/4 x 1/108)

= √ (27/4 x 108)

Vì 108 = 9 x 12 và 27 = 3 x 9

√ (3 x 9/4 x 9 x 12)

9 là hệ số của 9 và vì vậy hãy đơn giản hóa,

√ (3/4 x 12)

= √ (3/4 x 3 x 4)

= √ (1/4 x 4)

= √ (1/4 x 4) = 1/4

Đơn giản hóa các cấp độ bằng cách hợp lý hóa mẫu số

Hợp lý hóa một mẫu số có thể được gọi là một phép toán trong đó gốc của một biểu thức được chuyển từ dưới cùng của một phân số lên trên cùng. Phần dưới và phần trên của một phân số lần lượt được gọi là mẫu số và tử số. Các số như 2 và 3 là số hữu tỉ và các số căn như √2 và √3, là số vô tỉ. Nói cách khác, một mẫu số phải luôn luôn hợp lý, và quá trình thay đổi một mẫu số từ vô lý thành hợp lý được gọi là “Hợp lý hóa Mẫu số”

Có hai cách quy đồng mẫu số. Một phân số căn có thể được hợp lý hóa bằng cách nhân cả phần trên và phần dưới với một căn:

Ví dụ 2

Hợp lý hóa phân số căn sau: 1 / √2

Giải pháp

Nhân cả tử số và mẫu số với căn bậc 2.

= (1 / √2 x √2 / √2)

= √2 / 2

Một phương pháp khác để tính hợp lý mẫu số là nhân cả phần trên và phần dưới với một liên hợp của mẫu số. Liên từ là một biểu thức có dấu hiệu thay đổi giữa các thuật ngữ. Ví dụ, một liên hợp của một biểu thức như: x ² + 2 là

x ² – 2

Ví dụ 3

Hợp lý hóa biểu thức: 1 / (3 – √2)

Giải pháp

Nhân cả phần trên và phần dưới với (3 + √2) dưới dạng liên hợp.

1 / (3 – √2) x (3 + √2) / (3 + √2)

= (3 + √2) / (3 ² – (√2) ² )

= (3 + √2) / 7, mẫu số bây giờ là hữu tỉ.

Ví dụ 4

Hợp lý hóa mẫu số của biểu thức; (2 + √3) / (2 – √3)

Giải pháp

• Trong trường hợp này, 2 – √3 là mẫu số, và để hợp lý hóa mẫu số, cả trên và dưới bằng liên từ của nó

Liên hợp của 2 – √3 = 2 + √3.

• So sánh tử số (2 + √3) ² với đồng dạng (a + b) ² = a ² + 2ab + b ², kết quả là 2 ² + 2 (2) √3 + √3² = (7 + 4√3 )
• So sánh mẫu số với đồng dạng (a + b) (a – b) = a ² – b ², kết quả là 2² – √3²

Ví dụ 5

Hợp lý hóa mẫu số của biểu thức sau,

(5 + 4√3) / (4 + 5√3)

Giải pháp

• 4 + 5√3 là mẫu số của chúng ta, và do đó, để hợp lý hóa mẫu số, hãy nhân phân số với liên hợp của nó; 4 + 5√3 là 4 – 5√3
• Nhân các số hạng của tử số; (5 + 4√3) (4 – 5√3) cho ra 40 + 9√3
• So sánh tử số (2 + √3) ² đồng dạng (a + b) ² = a ² + 2ab + b ², để nhận được

4 ²- (5√3) ² = -59

Ví dụ 6

Hợp lý hóa mẫu số của (1 + 2√3) / (2 – √3)

Giải pháp

• Chúng ta có 2 – √3 ở mẫu số và để hợp lý hóa mẫu số, hãy nhân toàn bộ phân số với liên hợp của nó

Hợp của 2 – √3 là 2 + √3

• Ta có (1 + 2√3) (2 + √3) ở tử số. Nhân các số hạng này để nhận, 2 + 6 + 5√3
• So sánh mẫu số (2 + √3) (2 – √3) với đồng dạng

a ²- b ² = (a + b) (a – b), để có 2 ² – √3 ² = 1

Ví dụ 7

Hợp lý hóa mẫu số,

(3 + √5) / (3 – √5) + (3 – √5) / (3 + √5)

Giải pháp

• Tìm LCM để có (3 + √5) ² + (3-√5) ² / (3 + √5) (3-√5)
• Mở rộng (3 + √5) ² thành 3 ² + 2 (3) (√5) + √5 ² và (3 – √5) ² thành 3 ²- 2 (3) (√5) + √5 ²

So sánh mẫu số (3-√5) (3 + √5) với đồng dạng a ² – b ² = (a + b) (a – b), để được

3 ² – √5 ² = 4

Ví dụ 8

Hợp lý hóa mẫu số của biểu thức sau:

[(√5 – √7) / (√5 + √7)] – [(√5 + √7) / (√5 – √7)]

Giải pháp

• Bằng cách tính toán LCM, chúng tôi nhận được

(√5 – √7) ² – (√5 + √7) ² / (√5 + √7) (√5 – √7)

• Mở rộng (√5 – √7) ²

= √5 ² + 2 (√5) (√7) + √7²

• Mở rộng (√5 + √7) ²

= √5 ² – 2 (√5) (√7) + √7 ²

• So sánh mẫu số (√5 + √7) (√5 – √7) với đồng dạng

a² – b ² = (a + b) (a – b), để lấy

√5 ² – √7 ² = -2

Xem thêm: 

Nhân các cấp độ nhanh chóng dễ hiểu nhất cho người mới

Sieve of Eratosthenes là gì và các thuật toán thường gặp