Biểu diễn các chức năng:
Nói chung, hàm lượng giác nghịch đảo được biểu diễn bằng cách thêm cung vào tiền tố cho một hàm lượng giác hoặc bằng cách thêm lũy thừa của -1, chẳng hạn như:
Nghịch đảo của sin x = arcsin (x) hoặc không có– 1x
Bây giờ chúng ta hãy tìm đạo hàm của hàm lượng giác ngược
Ví dụ: Tìm đạo hàm của hàm số Y=không có– 1x.
Giải pháp: Đưa ra Y=không có– 1x…………(Tôi)
⇒ x = sinY
Phân biệt phương trình trên wrt x, ta có:
⇒d yd x=1cosY
Đặt giá trị của y dạng (i), chúng ta nhận được
⇒d yd x=1cosY=1cos(không có– 1x )……… .. (ii)
Từ phương trình (ii), chúng ta có thể thấy rằng giá trị của cos y không thể bằng 0, vì hàm sẽ trở thành không xác định.
⇒không có– 1x ≠– π2,Số Pi2
I E x ≠ – 1 , 1
Từ (i) chúng tôi có Y=không có– 1x
⇒ tội lỗiY= không có(không có– 1x )
Sử dụng thuộc tính của hàm lượng giác,
cos2Y= 1 –không có2Y= 1 – ( không có(không có– 1x ))2= 1 –x2
⇒ cosY=1 –x2—-√………… (iii)
Bây giờ đặt giá trị của (iii) vào (ii), chúng ta có
d yd x=11 –x2√
Do đó, Đạo hàm của hàm sin nghịch đảo là
dd x(không có– 1x ) =11 –x2√
Đạo hàm của hàm lượng giác ngược
| Chức năng | (d yd x) |
| arcsin x | 11 –x2√ |
| arccos x | –11 –x2√ |
| arctan x | 11 +x2 |
| arccot x | –11 +x2 |
| arcsec x | 1| x |x2– 1√ |
| arccsc x | –1| x |x2– 1√ |
| Ví dụ: Tìm đạo hàm của hàm số 2 arcsin x – 5 arccsc x.
Giải pháp: Đưa ra 2a r c s i n x – 5a r c c s c x d yd x=21 –x2√+5xx2– 1√ Hơn nữa, chúng ta có thể phân tích nhân tử của biểu thức đã cho. Ví dụ: Tìm đạo hàm của hàm số không có– 1(1 –x21 +x2). Lời giải: Cho y = không có– 1(1 –x21 +x2) d yd x=11 –(1 –x21 +x2)2√×dd x(1 –x21 +x2) d yd x=1( 1 +x2)2– ( 1 –x2)2( 1 +x2)2√×dd x(1 –x21 +x2) d yd x=1 +x2( 1 +x4+ 2x2) – ( 1 +x4– 2x2)√× (( 1 +x2) ( – 2 x ) – ( 1 –x2) ( 2 x ) )( 1 +x2)2) d yd x=1 +x24x2√× (( – 2 x – 2x3– 2 x + 2x3)( 1 +x2)2) d yd x=1 +x22 x× (– 4 x( 1 +x2)2) ⇒d yd x=– 21 +x2 |
Xem thêm bài viết:
Cách để hoàn thành bình phương nhanh nhất hiện nay
