Biểu diễn các chức năng:
Nói chung, hàm lượng giác nghịch đảo được biểu diễn bằng cách thêm cung vào tiền tố cho một hàm lượng giác hoặc bằng cách thêm lũy thừa của -1, chẳng hạn như:
Nghịch đảo của sin x = arcsin (x) hoặc tội– 1x
Bây giờ chúng ta hãy tìm đạo hàm của hàm lượng giác ngược
Ví dụ: Tìm đạo hàm của hàm số y=tội– 1x .
Lời giải: Cho y=tội– 1x ………… (i)
⇒ x = siny
Phân biệt phương trình trên wrt x, ta có:
⇒d yd x=1cosy
Đặt giá trị của y dạng (i), chúng ta nhận được
⇒d yd x=1cosy=1cos(tội– 1x ) ……… .. (ii)
Từ phương trình (ii), chúng ta có thể thấy rằng giá trị của cos y không thể bằng 0, vì hàm sẽ trở thành không xác định.
⇒tội– 1x ≠– π2,π2
tức là x ≠ – 1 , 1
Từ (i) ta có y=tội– 1x
⇒ tội lỗiy= tội lỗi(tội– 1x )
Sử dụng thuộc tính của hàm lượng giác,
cos2y= 1 –tội2y= 1 – ( tội lỗi(tội– 1x ))2= 1 –x2
⇒ cosy=1 –x2—-√ ………… (iii)
Bây giờ đặt giá trị của (iii) vào (ii), chúng ta có
d yd x=11 –x2√
Do đó, Đạo hàm của hàm sin nghịch đảo là
dd x(tội– 1x ) =11 –x2√
Đạo hàm của hàm lượng giác ngược
| Chức năng | ( )d yd x |
| arcsin x | 11 –x2√ |
| arccos x | –11 –x2√ |
| arctan x | 11 +x2 |
| arccot x | –11 +x2 |
| arcsec x | 1| x |x2– 1√ |
| arccsc x | –1| x |x2– 1√ |
| Ví dụ: Tìm đạo hàm của hàm số 2 arcsin x – 5 arccsc x.
Lời giải: Cho2a r c s i n x – 5a r c c s c x d yd x=21 –x2√+5xx2– 1√ Hơn nữa, chúng ta có thể phân tích nhân tử của biểu thức đã cho. Ví dụ: Tìm đạo hàm của hàm .tội– 1(1 –x21 +x2) Lời giải: Cho y =tội– 1(1 –x21 +x2) d yd x=11 –(1 –x21 +x2)2√×dd x(1 –x21 +x2) d yd x=1( 1 +x2)2– ( 1 –x2)2( 1 +x2)2√×dd x(1 –x21 +x2) d yd x=1 +x2( 1 +x4+ 2x2) – ( 1 +x4– 2x2)√× (( 1 +x2) ( – 2 x ) – ( 1 –x2) ( 2 x ) )( 1 +x2)2) d yd x=1 +x24x2√× (( – 2 x – 2x3– 2 x + 2x3)( 1 +x2)2) d yd x=1 +x22 x× (– 4 x( 1 +x2)2) ⇒d yd x=– 21 +x2 |
Xem thêm:
