Điểm uốn là gì? Xem xong 5 phút hiểu luôn.

Định nghĩa điểm uốn

Điểm uốn hoặc điểm uốn là một điểm mà độ dài của hàm thay đổi. Có nghĩa là cơ năng chuyển từ lõm xuống sang lõm lên hoặc ngược lại. Nói cách khác, điểm mà tốc độ thay đổi của độ dốc từ tăng sang giảm hoặc ngược lại được gọi là điểm uốn. Những điểm đó chắc chắn không phải là cực đại hay cực tiểu cục bộ . Chúng là các điểm đứng yên.

Hàm Concavity

Nói chung, khi đường cong của một hàm uốn cong, nó sẽ tạo thành một hình dạng lõm. Nó được gọi là độ sâu của một hàm. Trong hàm đồ thị, có thể tìm thấy hai dạng hàm số.

• Lõm lên
• Lõm xuống

Con lõm lên – Nếu một đường cong mở ra theo hướng lên trên hoặc nó uốn cong lên để tạo ra hình dạng giống như một cái cốc, nó được cho là lõm lên hoặc lồi xuống.

Phần lõm xuống – Nếu một đường cong uốn cong xuống hoặc giống như một cái nắp, nó được gọi là lõm xuống hoặc lồi lên. Nói cách khác, tiếp tuyến nằm bên dưới đường cong nếu độ dốc của tiếp tuyến tăng bằng mức tăng của một biến độc lập.

Phép tính điểm uốn

Nếu f (x) là một hàm phân biệt, thì f (x) được cho là:

• Thu hẹp một điểm x = a, iff f “(x)> 0 tại a
• Lấp xuống tại điểm x = a, iff f “(x) <0 tại a

Ở đây, f “(x) là đạo hàm cấp hai của hàm f (x).

Đồ thị điểm uốn

Điểm uốn xác định hệ số góc của đồ thị hàm số trong đó điểm cụ thể bằng không. Đồ thị sau đây cho thấy hàm số có một điểm uốn.

Cần lưu ý rằng trong một đường cong đơn hoặc trong khoảng cho trước của một hàm, có thể có nhiều hơn một điểm uốn.

Làm thế nào để tìm điểm uốn trên đồ thị?

Điểm uốn được định nghĩa là một điểm trên đường cong trong đó trọng lực thay đổi. (tức là) dấu hiệu của sự thay đổi độ cong. Ta biết rằng nếu f ”> 0 thì hàm số lõm lên và nếu f” <0 thì hàm số lõm xuống. Nếu hàm số chuyển từ dương sang âm hoặc từ âm sang dương tại một điểm cụ thể x = c, thì điểm đó được gọi là điểm uốn trên đồ thị.

Điểm uốn của một hàm

Ta có thể xác định điểm uốn của một hàm số dựa vào dấu của đạo hàm cấp hai của hàm số đã cho. Ngoài ra, bằng cách xem xét giá trị của đạo hàm cấp một của hàm, độ uốn điểm có thể được phân loại thành hai loại, như cho dưới đây.

Nếu f ‘(x) bằng không, thì điểm đó là điểm uốn đứng yên.

Nếu f ‘(x) không bằng 0 thì điểm đó là điểm uốn không đứng yên.

Bấm vào đây để lấy máy tính điểm uốn .

Ví dụ về điểm uốn

Tham khảo bài toán sau để hiểu khái niệm điểm uốn.

Thí dụ:

Xác định điểm uốn của hàm số đã cho f (x) = x ⁴ – 24x ² +11

Giải pháp:

Cho hàm số: f (x) = x ⁴ – 24x ² +11

Đạo hàm cấp một của hàm là

f ‘(x) = 4x ³ – 48x

Đạo hàm cấp hai của hàm số là

f ”(x) = 12x ² – 48

Đặt f ”(x) = 0,

12x ² – 48 = 0

Chia cho 12 ở cả hai bên, chúng tôi nhận được

x ² – 4 = 0

x ² = 4

Do đó, x = ± 2

Để kiểm tra hoặc x = 2, hãy thay x = 1 và 3 bằng f ”(x)

Vì vậy, f ”(1) = 12 (1) ² – 48 = -36 (âm)

f ”(3) = 12 (3) ² – 48 = 276 (dương)

Để kiểm tra x = -2, hãy thay x = 0 và -3 bằng f ”(x)

Vì vậy, f ”(0) = 12 (0) ² – 48 = -48 (âm)

f ”(3) = 12 (3) ² – 48 = 276 (dương)

Do đó, đã chứng minh

Bây giờ, thay x = ± 2 bằng f ”(x)

Do đó, nó trở thành

f ”(2) = 12 (2) ² – 48 = -69

f ”(- 2) = 12 (-2) ² – 48 = -69

Do đó, các điểm uốn là (2, -69) và (-2, -69).