Phát biểu định lý Lagrange
Theo câu lệnh, thứ tự của nhóm con H chia thứ tự của nhóm G. Điều này có thể được biểu diễn dưới dạng;
| G | = | H |
Trước khi chứng minh định lý Lagrange, chúng ta hãy thảo luận về các thuật ngữ quan trọng và ba bổ đề giúp chứng minh định lý này.
Coset là gì?
Trong lý thuyết nhóm, nếu G là một nhóm hữu hạn, và H là một nhóm con của G, và nếu g là một phần tử của G thì;
gH = {gh: h một phần tử của H} là coset bên trái của H trong G đối với phần tử của G
Và
Hg = {hg: h một phần tử của H} là coset đúng của H trong G đối với phần tử của G.
Bây giờ, chúng ta hãy thảo luận về các bổ đề giúp chứng minh định lý Lagrange.
Bổ đề 1: Nếu G là một nhóm với nhóm con H, thì có một tương ứng 1-1 giữa H và bất kỳ coset nào của H.
Bổ đề 2: Nếu G là nhóm với nhóm con H thì quan hệ coset trái, g1 ∼ g2 nếu và chỉ khi g1 ∗ H = g2 ∗ H là quan hệ tương đương.
Bổ đề 3: Cho S là một tập hợp và ∼ là một quan hệ tương đương trên S. Nếu A và B là hai lớp tương đương với A ∩ B = ∅ thì A = B.
Chứng minh Định lý Lagrange
Với sự trợ giúp của ba bổ đề nêu trên, chúng ta có thể dễ dàng chứng minh phát biểu Lagrange.
Bằng chứng về Tuyên bố Lagrange:
Gọi H là nhóm con bậc n của một nhóm hữu hạn G bậc m. Chúng ta hãy xem xét phân tích chi phí của G liên quan đến H.
Bây giờ chúng ta hãy xem xét mỗi coset của aH bao gồm n phần tử khác nhau.
Cho H = {h 1 , h 2 ,…, h n }, thì ah 1 , ah 2 ,…, ah n là n phần tử riêng biệt của aH.
Giả sử, ah i = ah j ⇒h i = h j là luật hủy bỏ của G.
Vì G là một nhóm hữu hạn, số coset rời rạc bên trái cũng sẽ hữu hạn, giả sử p. Vì vậy, tổng số phần tử của tất cả các coset là np bằng tổng số phần tử của G. Do đó, m = np
p = m / n
Điều này cho thấy rằng n, bậc của H, là một ước của m, bậc của nhóm hữu hạn G. Ta cũng thấy rằng chỉ số p cũng là một ước của bậc của nhóm.
Do đó, đã chứng minh, | G | = | H |
Hệ quả định lý Lagrange
Hệ quả 1: Nếu G là một nhóm hữu hạn bậc m thì bậc a∈G bất kỳ chia hết bậc của G và cụ thể là a m = e.
Chứng minh: Gọi p là bậc của a, là số nguyên dương nhỏ nhất, do đó,
a p = e
Sau đó, chúng ta có thể nói,
a, a 2 , a 3 ,…., a p-1 , a p = e, các phần tử của nhóm G đều phân biệt và tạo thành một nhóm con.
Vì nhóm con có bậc p, do đó p bậc của a chia nhóm G.
Vì vậy, chúng ta có thể viết,
m = np, với n là số nguyên dương.
Vì thế,
a m = a np = (a p ) n = e
Do đó, đã chứng minh.
Hệ quả 2: Nếu bậc của nhóm hữu hạn G là bậc nguyên tố thì nó không có nhóm con thích hợp.
Chứng minh: Ta xét, bậc nguyên tố của nhóm G là m. Bây giờ, m chỉ có hai ước số 1 và m (thuộc tính số nguyên tố). Do đó, các nhóm con của G sẽ là {e} và G chính nó. Vì vậy, không có nhóm con thích hợp. Do đó, đã chứng minh.
Hệ quả 3: Một nhóm bậc nguyên tố (bậc chỉ có hai ước) là một nhóm tuần hoàn.
Chứng minh: Giả sử, G là nhóm các bậc nguyên tố của m và a ≠ e∈G.
Vì bậc của a là ước của m nên nó là 1 hoặc m.
Nhưng thứ tự của a, o (a) ≠ 1, vì a ≠ e.
Do đó, bậc của o (a) = p, và nhóm con tuần hoàn của G tạo bởi a cũng có bậc m.
Điều đó chứng tỏ rằng G là một nhóm con xiclo tạo bởi a, tức là G là một chu trình.
