Giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên
Để cho X là một biến ngẫu nhiên với các giá trị có thể x1,x2,x3, … ,xn xảy ra với xác suất p1,p2,p3, … ,pn, tương ứng. Giá trị trung bình của một biến ngẫu nhiênX, đóng góp bởi μ, là giá trị trung bình có trọng số của các giá trị có thể có của X, mỗi giá trị được tính theo xác suất xuất hiện của nó. Giá trị trung bình của một biến ngẫu nhiên X cũng được biết như kỳ vọng củaX được cho bởi,
E( X) = μ = ∑i = 1n xTôipTôi
=x1p1 + x2p2 + ⋯ + xnpn
Thí dụ
Minh họa 1 : Tính giá trị trung bình của con số thu được khi lăn một con xúc xắc không thiên vị.
Giải pháp: Không gian mẫu của thử nghiệm,S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Gọi con số thu được sau khi lăn con súc sắc là X. Về cơ bản,X là một biến ngẫu nhiên có thể nhận bất kỳ giá trị nào từ 1, 2, 3, 4, 5 và 6.
Nếu P( 1 ) đại diện cho xác suất nhận được 1 sau khi lăn xúc xắc, sau đó
P( 1 ) = P ( 2 ) = P ( 3 ) = P ( 4 ) = P ( 5 ) = P ( 6 ) = 16
Phân phối xác suất của X có thể được cho là,
| X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| P (X) | 16 | 16 | 16 | 16 | 16 | 16 |
E( X) = μ = ∑i = 1nxTôipTôi
∑i = 16 xTôipTôi = 1. 16 + 2. 16 + 3. 16 + 4. 16 + 5. 16 + 6. 16
=16 + 26 + 36 + 46 + 56 + 66 = 216 = 3,5
Có một điểm quan trọng cần lưu ý ở đây. Nếu mỗi giá trị của một biến ngẫu nhiên (a1,a2, … ,an) có xác suất xảy ra bằng nhau (1n), sau đó giá trị trung bình được đưa ra bởi (a1+a2+ ⋯ +ann).
Giá trị trung bình của các biến ngẫu nhiên có phân bố xác suất khác nhau có thể có cùng giá trị. Do đó, giá trị trung bình không giải thích được sự biến thiên của các giá trị trong phân phối xác suất. Do đó, phương sai của biến ngẫu nhiên được xác định để đo lường sự lan truyền và phân tán trong dữ liệu. Phương sai của một biến ngẫu nhiên được thảo luận chi tiết ở đây.
Phương sai của biến ngẫu nhiên
Về cơ bản, phương sai cho chúng ta biết mức độ dàn trải các giá trị của X xung quanh giá trị trung bình. Phương sai của một biến ngẫu nhiên (ký hiệu làσ2x) với các giá trị x1,x2,x3, … ,xn xảy ra với xác suất p1,p2,p3, … ,pn có thể được đưa ra dưới dạng:
Va r ( X) = σ2x = ∑i = 1n(xTôi – μ )2pTôi
Va r ( X) = ∑i = 1n (xTôi)2pTôi + ∑i = 1n μ2pTôi – ∑i = 1n 2xTôiμpTôi
Va r ( X) = ∑i = 1n (xTôi)2pTôi + μ2 ∑ ni = 1 pTôi – 2 μ ∑i = 1n xTôipTôi
Đây,
∑i = 1nxTôipTôi = μ (Có nghĩa là X) và ∑i = 1n pTôi = 1 (tổng xác suất của tất cả các kết quả của một sự kiện là 1). Thay thế các giá trị, chúng tôi nhận được
Va r ( X) = ∑i = 1n(xTôi)2pTôi + μ2 – 2 μ2
σ2x = V a r ( X) = ∑i = 1n (xTôi)2pTôi – μ2
Va r ( X) = E (X2) – [ E ( X)]2
Ở đâu,
E(X2) = ∑i = 1n(xTôi)2pTôi và E( X) = ∑i = 1nxTôipTôi
Dưới đây là một minh họa về ứng dụng của khái niệm này.
Thí dụ
Hình minh họa 2: Hai quân bài được rút liên tiếp với sự thay thế từ một gói 52 quân bài xáo trộn tốt. Tìm giá trị trung bình và phương sai của số con át.
Giải pháp: HãyXlà một biến ngẫu nhiên biểu thị số con át. Giá trị có thể có củaX là 0, 1,2.
P( X = 0 ) = P ( n hoặc n – a c và a n d n o n – a c e )
=P( n hoặc n – a c e ) × P ( n hoặc n – a c e )
= 4852 × 4852 = 144169
P( X = 1 ) = P ( a c e a n d n o n – a c e o r n o n – a c e a n d a c e )
= P( a c e a n d n hoặc n – a c e ) + P ( n hoặc n – a c và a n d a c e )
= P( a c e ) × P ( n hoặc n – a c e ) + P ( n hoặc n – a c e ) × P ( a c e )
= 452 × 4852 + 4852 × 452 = 24169
P( X = 2 ) = P ( a c e a n d a c e )
= P( a c e ) × P ( a c e )
=452 × 452 = 1169
Do đó, phân phối xác suất có thể được đưa ra là,
| X | 0 | 1 | 2 |
| P (X) | 144169 | 24169 | 1169 |
E( X) = μ = ∑i = 1nxTôipTôi = 0,144169 + 1. 24169 + 2. 1169
=0 + 24169 + 2169 = 26169
E(X2) = ∑i = 1n (xTôi)2pTôi = 02.144169 + 12.24169 + 22.1169
=0 + 24169 + 4169 = 28169
Va r ( X) = E (X2) – [ E ( X)]2 = 28169 – ( 26169)2 = 24169<
Xem thêm:
