Định nghĩa: Một Số Hoàn hảo N được định nghĩa là bất kỳ số nguyên dương nào trong đó tổng các ước của nó trừ đi số chính nó bằng số. Một số đầu tiên trong số này, đã được người Hy Lạp cổ đại biết đến, là 6, 28, 496 và 8128.
Một Số Hoàn hảo “n”, là một số nguyên dương bằng tổng các thừa số của nó, không bao gồm chính “n”.
Euclid, hơn hai nghìn năm trước, đã chỉ ra rằng tất cả các số thậm chí hoàn hảo có thể được biểu diễn bằng,
N = 2 p-1 (2 p -1) trong đó p là số nguyên tố mà 2 p -1 là số nguyên tố Mersenne.
Tức là, chúng ta có một Số hoàn hảo chẵn có dạng N bất cứ khi nào Số Mersenne 2 p -1 là một số nguyên tố . Không nghi ngờ gì nữa, Mersenne đã quen thuộc với cuốn sách của Euclid trong việc tìm ra các số nguyên tố của ông.
Bảng số hoàn hảo:
Sau đây là bảng gồm chín Số nguyên tố và Số hoàn hảo đầu tiên của Mersenne
| Nguyên tố, p | Mersenne Prime, 2 p -1 | Số hoàn hảo, 2 p-1 (2 p -1) |
|---|---|---|
| 2 | 3 | 6 |
| 3 | 7 | 28 |
| 5 | 31 | 496 |
| 7 | 127 | 8128 |
| 13 | 8191 | 33550336 |
| 17 | 131071 | 8589869056 |
| 19 | 524287 | 137438691328 |
| 31 | 2147483647 | 2305843008139952128 |
| 61 | 2305843009213693951 | 2658455991569831744654692615953842176 |
Lịch sử của số hoàn hảo
Người ta không biết những Con số hoàn hảo lần đầu tiên được phát hiện ra khi nào, hoặc khi chúng được nghiên cứu, người ta cho rằng chúng thậm chí có thể đã được người Ai Cập biết đến, và thậm chí có thể đã được biết đến trước đó. Mặc dù các nhà toán học cổ đại biết đến sự tồn tại của Số hoàn hảo, nhưng người Hy Lạp mới quan tâm sâu sắc đến chúng, đặc biệt là Pythagoras và những người theo ông (O’Connor và Robertson, 2004).
Những người theo thuyết Pitago nhận thấy số 6 rất thú vị (vì tính chất thần bí và số học của nó nhiều hơn là vì bất kỳ ý nghĩa toán học nào), vì nó là tổng các thừa số thích hợp của nó, tức là 6 = 1 + 2 + 3. Đây là Con số hoàn hảo nhỏ nhất, là bản thể tiếp theo 28 (Burton, 1980).
Mặc dù những người theo thuyết Pitago quan tâm đến các tính chất huyền bí của các Con số hoàn hảo, nhưng họ không có chút ý nghĩa toán học nào với chúng. Vào khoảng năm 300 trước Công nguyên, khi Euclid viết Elements của mình, kết quả thực đầu tiên đã được tạo ra. Mặc dù Euclid tập trung vào Hình học, nhiều kết quả lý thuyết số có thể được tìm thấy trong văn bản của ông (Burton, 1980).
Chúng ta sẽ xem xét kết quả của Euclid trong giây lát, nhưng trước tiên, hãy định nghĩa Số hoàn hảo một cách rộng rãi hơn. Có rất nhiều cách để định nghĩa Số hoàn hảo, các định nghĩa ban đầu được đưa ra dưới dạng các phần tỷ lệ. Tác giả định nghĩa: Một Số Hoàn Hảo n, là một số nguyên dương bằng tổng các thừa số của nó, không bao gồm n.
Câu hỏi dựa trên số hoàn hảo
Câu 1: Xác minh rằng 28 là một số hoàn hảo.
Câu 2: Xác minh trong trường hợp 18 = 2 · 3 2 = p k q l rằng tổng σ (n) của tất cả các ước thỏa mãn công thức
σ (n) = (1 + P + P 2 +… P k ) (1 + q + q 2 +… q l )
Các câu hỏi thường gặp
Những con số hoàn hảo là gì?
Một số hoàn hảo được định nghĩa là một số nguyên dương bằng tổng các ước số dương của nó, không bao gồm chính số đó.
Con số hoàn hảo nhỏ nhất là gì?
Số hoàn hảo nhỏ nhất là 6, là tổng của 1, 2 và 3.
Có bao nhiêu con số hoàn hảo và những con số hoàn hảo từ 1 đến 100 là gì?
Có khoảng 51 con số hoàn hảo đã biết. Chỉ có 2 số hoàn hảo từ 1 đến 100 là 6 và 28. Số hoàn thiện mới nhất năm 2018 có 49.724.095 chữ số.
5 con số hoàn hảo đầu tiên là gì?
5 số hoàn hảo đầu tiên là 6, 28, 496, 8128 và 33550336.
Xem thêm:
