Orthocenter là gì? Xem xong 5 phút hiểu luôn.

Trung tâm của một tam giác

Trực tâm của tam giác là điểm mà đường vuông góc từ các đỉnh đến các cạnh đối diện của tam giác cắt nhau.

• Đối với một tam giác góc nhọn, trực tâm nằm bên trong tam giác.
• Cho tam giác góc tù, trực tâm nằm ngoài tam giác.
• Đối với một tam giác vuông, trực tâm nằm trên đỉnh của góc vuông.

Lấy ví dụ về tam giác ABC.

Trong hình trên, bạn có thể thấy, các đường vuông góc AD, BE và CF được vẽ từ đỉnh A, B và C xuống các cạnh đối diện BC, AC và AB lần lượt cắt nhau tại một điểm O. Điểm này là trực tâm. của △ ABC.

Công thức Orthocenter

Công thức của trực tâm được sử dụng để tìm tọa độ của nó. Chúng ta hãy xem xét một tam giác ABC, như thể hiện trong sơ đồ trên, trong đó AD, BE và CF là các đường vuông góc vẽ từ các đỉnh A (x ₁ , y ₁ ), B (x ₂ , y ₂ ) và C (x ₃ , y ₃ ), tương ứng. O là giao điểm của ba đường cao.

Đầu tiên, chúng ta cần tính hệ số góc của các cạnh của tam giác, theo công thức:

m = y ₂ -y ₁ / x ₂ -x ₁

Bây giờ, hệ số góc của các đường cao của tam giác ABC sẽ là hệ số góc vuông góc của đường thẳng.

Độ dốc vuông góc của đoạn thẳng = -1 / Độ dốc của đoạn thẳng = -1 / m

Cho hệ số góc của AC là m _AC . Vì thế,

m _AC = y ₃ -y ₁ / x ₃ -x ₁

Tương tự, m _BC = (y ₃ -y ₂ ) / (x ₃ -x ₂ )

Bây giờ, độ dốc của các độ cao tương ứng là:

Độ dốc của BE, m _BE  = -1 / m _AC

Hệ số góc của AD, m _AD  = -1 / m _BC

Bây giờ ở đây chúng ta sẽ sử dụng phương trình dạng điểm có hệ số góc os một đường thẳng để tìm phương trình của các đường trùng với BE và AD.

Vì thế,

m _BE = (yy ₂ ) / (xx ₂ )

mAD = (yy ₁ ) / (xx ₁ )

Do đó, chúng ta sẽ nhận được hai phương trình ở đây có thể được giải quyết một cách dễ dàng. Do đó, giá trị của x và y sẽ cho tọa độ của trực tâm.

Thuộc tính của Orthocenter

Trực tâm là giao điểm của các đường cao vẽ từ các đỉnh của tam giác với các cạnh đối diện.

• Đối với một tam giác nhọn, nó nằm bên trong tam giác.
• Đối với một tam giác tù, nó nằm bên ngoài của tam giác.
• Đối với một tam giác vuông, nó nằm trên đỉnh của góc vuông.
• Tích của các phần mà trực tâm phân chia độ cao là phần tương đương cho cả 3 hình vuông góc.

Xây dựng Orthocenter

Để xây dựng trực tâm của một tam giác, không có công thức cụ thể nào mà chúng ta phải lấy tọa độ các đỉnh của tam giác. Giả sử chúng ta có một tam giác ABC và chúng ta cần tìm trực tâm của nó. Sau đó, hãy làm theo các bước dưới đây;

• Điều đầu tiên chúng ta phải làm là tìm hệ số góc của cạnh BC, sử dụng công thức hệ số góc, đó là, m = y ₂ -y ₁ / x ₂ -x ₁
• Hệ số góc của đường thẳng AD là hệ số góc vuông góc của BC.
• Bây giờ, từ điểm A và hệ số góc của đường thẳng AD, hãy viết phương trình đường thẳng theo công thức điểm – hệ số góc là; y ₂ -y ₁ = m (x ₂ -x ₁ )

• Một lần nữa tìm hệ số góc của cạnh AC bằng công thức hệ số góc.
• Hệ số góc vuông góc của AC là hệ số góc của đường thẳng BE.
• Bây giờ, từ điểm B và hệ số góc của đường thẳng BE, hãy viết phương trình đường thẳng bằng công thức hệ số góc của điểm đó là; yy ₁ = m (xx ₁ )

• Bây giờ, chúng ta có hai phương trình cho các đường thẳng là AD và BE.
• Kéo dài cả hai đường để tìm giao điểm.
• Điểm mà AD và BE gặp nhau là trực tâm.

Lưu ý: Nếu chúng ta có thể tìm thấy hệ số góc của hai cạnh của tam giác thì chúng ta có thể tìm trực tâm và nó không cần thiết để tìm hệ số góc cho cạnh thứ ba.

Ví dụ về Orthocenter

Câu hỏi:

Tìm trực tâm của tam giác có các đỉnh là A (-5, 3), B (1, 7), C (7, -5).

Giải pháp:

Hãy để chúng tôi giải quyết vấn đề với các bước được đưa ra trong phần trên;

1. Hệ số góc của cạnh AB = y ₂ -y ₁ / x ₂ -x ₁ = 7-3 / 1 + 5 = 4/6 = ⅔

2. Hệ số góc AB = -3/2

3. Với điểm C (7, -5) và hệ số góc CF = -3/2, phương trình của CF là y – y ₁ = m (x – x ₁ ) (dạng điểm-hệ số)

4. Thay thế các giá trị trong công thức trên.

(y + 5) = -3/2 (x – 7)

2 (y + 5) = -3 (x – 7)

2y + 10 = -3x + 21

3x + 2y = 11 ………………………………… .. (1)

5. Độ dốc của cạnh BC = y ₂ -y ₁ / x ₂ -x ₁ = (-5-7) / (7-1) = -12 / 6 = -2

6. Hệ số góc BC = ½

7. Bây giờ, phương trình của đường thẳng AD là y – y ₁ = m (x – x ₁ ) (dạng điểm – hệ số góc)

(y-3) = ½ (x + 5)

Giải phương trình chúng ta nhận được,

x-2y = -11 ………………………………………… (2)

8. Bây giờ khi chúng ta giải phương trình 1 và 2, chúng ta nhận được các giá trị x và y.

Đó là, x = 0 và y = 11/2 = 5,5

Do đó (0, 5.5) là tọa độ của trực tâm của tam giác.