Phân phối Gamma là gì?
Các phân phối gamma hạn chủ yếu được sử dụng như là một bản phân phối được định nghĩa là hai tham số – tham số hình dạng và thông số quy mô nghịch đảo, có phân bố xác suất liên tục. Nó liên quan đến phân phối chuẩn, phân phối hàm mũ , phân phối chi bình phương và phân phối Erlang. ‘Γ’ biểu thị hàm gamma.
Phân phối gamma có hai tham số tự do, được đặt tên là alpha (α) và beta (β), trong đó;
- α = Tham số hình dạng
- β = Tham số tỷ lệ (nghịch đảo của tham số tỷ lệ)
Nó được đặc trưng bởi trung bình µ = αβ và phương sai σ 2 = αβ 2
Tham số tỷ lệ β chỉ được sử dụng để chia tỷ lệ. Điều này có thể được hiểu bằng cách nhận xét rằng bất cứ nơi nào biến ngẫu nhiên x xuất hiện trong mật độ xác suất, thì biến đó được chia cho β. Vì tham số tỷ lệ cung cấp dữ liệu thứ nguyên, nên hiếm khi hữu ích khi làm việc với phân phối gamma “chuẩn”, tức là với β = 1.
Chức năng phân phối gamma
Hàm gamma được biểu diễn bằng Γ (y) , là một dạng mở rộng của hàm giai thừa cho các số phức (thực). Vì vậy, nếu n∈ {1,2,3,…} thì Γ (y) = (n-1)!
Nếu α là một số thực dương, thì Γ (α) được định nghĩa là
- Γ (α) = 0 ∫∞ (y a-1 e -y dy), với α> 0.
- Nếu α = 1, Γ (1) = 0 ∫∞ (e -y dy) = 1
- Nếu chúng ta thay đổi biến thành y = λz, chúng ta có thể sử dụng định nghĩa này cho phân phối gamma: Γ (α) = 0 ∫∞ y a-1 e λy dy trong đó α, λ> 0.
Công thức phân phối gamma
,
trong đó p và x là một biến ngẫu nhiên liên tục.
Biểu đồ phân phối gamma
Các tham số của phân bố gamma xác định hình dạng của đồ thị. Tham số hình dạng α và tham số tốc độ β đều lớn hơn 1.
- Khi α = 1, điều này trở thành phân phối hàm mũ
- Khi β = 1, đây trở thành phân bố gamma chuẩn
Phân phối gamma của chức năng phân phối tích lũy
Các hàm phân phối tích lũy của một phân phối Gamma được như hình dưới đây:
Thuộc tính phân phối gamma
Các thuộc tính của phân bố gamma là:
Đối với + ve số thực α bất kỳ,
- Γ (α) = 0 ∫∞ (y a-1 e -y dy), với α> 0.
- 0 ∫∞ y a-1 e λy dy = Γ (α) / λ a , với λ> 0.
- Γ (α +1) = α Γ (α)
- Γ (m) = (m-1) !, với m = 1,2,3…;
- Γ (½) = √π
Trung bình phân phối gamma
Có hai cách để xác định trung bình phân phối gamma
- Trực tiếp
- Mở rộng chức năng tạo khoảnh khắc
Nó còn được gọi là Giá trị kỳ vọng của Phân phối Gamma.
Phương sai phân phối gamma
Nó có thể được hiển thị như sau:
Vì vậy, Phương sai = E [x 2 ] – [E (x 2 )], trong đó p = (E (x)) (Trung bình và Phương sai p (p + 1) – p 2 = p
Ví dụ về phân phối gamma
Hãy tưởng tượng bạn đang giải những định lý Toán học khó và bạn mong đợi sẽ giải được một định lý sau mỗi 1/2 giờ. Tính xác suất để bạn phải đợi từ 2 đến 4 giờ trước khi giải được bốn bài trong số đó.
Cứ 1/2 giờ lại có một định lý có nghĩa là chúng ta sẽ giả sử trung bình mỗi giờ nhận được θ = 1 / 0,5 = 2 định lý. Sử dụng θ = 2 và k = 4, Bây giờ chúng ta có thể tính nó như sau:
P( 2 ≤ X≤ 4 ) =∑4x = 2x4 – 1e– x / 2C ( 4 )24= 0,12388
Xem thêm:
