Contents
Định nghĩa
Trong toán học, thuật ngữ “ Phương trình vi phân thông thường ” còn được gọi là ODE là một phương trình chỉ chứa một biến độc lập và một hoặc nhiều đạo hàm của nó đối với biến đó. Nói cách khác, ODE được biểu diễn dưới dạng quan hệ có một biến độc lập x, biến phụ thuộc thực y, với một số đạo hàm của nó.
y ‘, y ”,… .y n ,… đối với x.
Đặt hàng
Bậc của phương trình vi phân thông thường được định nghĩa là bậc của đạo hàm cao nhất xảy ra trong phương trình. Dạng tổng quát của ODE bậc n được cho là;
F (x, y, y ‘,…., Y n ) = 0
Lưu ý rằng, y ‘ có thể là dy / dx hoặc dy / dt và y n có thể là d n y / dx n hoặc d n y / dt n .
Một phương trình vi phân thông thường bậc n là tuyến tính nếu nó có thể được viết dưới dạng;
a 0 (x) y n + a 1 (x) y n-1 +… .. + a n (x) y = r (x)
Hàm a j (x), 0 ≤ j ≤ n được gọi là các hệ số của phương trình tuyến tính. Phương trình được cho là thuần nhất nếu r (x) = 0. Nếu r (x) ≠ 0, nó được cho là phương trình không thuần nhất.
Các loại
Phương trình vi phân thông thường được phân loại thành ba loại. Họ đang:
- ODE tự trị
- ODE tuyến tính
- ODE phi tuyến tính
Phương trình vi phân bình thường tự trị
Một phương trình vi phân không phụ thuộc vào biến, chẳng hạn như x được gọi là một phương trình vi phân tự trị.
Phương trình vi phân bình thường tuyến tính
Nếu phương trình vi phân có thể được viết dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các đạo hàm của y, thì chúng được gọi là phương trình vi phân tuyến tính thông thường. Chúng có thể được phân loại thêm thành hai loại:
- Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất
- Phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất
Phương trình vi phân thông thường phi tuyến tính
Nếu phương trình vi phân không thể viết dưới dạng kết hợp tuyến tính của các đạo hàm của y, thì nó được gọi là phương trình vi phân thông thường phi tuyến tính.
Các ứng dụng
ODE có những ứng dụng đáng chú ý và nó có khả năng dự đoán thế giới xung quanh chúng ta. Nó được sử dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau như sinh học, kinh tế, vật lý, hóa học và kỹ thuật. Nó giúp dự đoán sự tăng trưởng và phân rã theo cấp số nhân, tăng trưởng dân số và loài. Một số cách sử dụng ODE là:
- Mô hình hóa sự phát triển của bệnh
- Mô tả sự chuyển động của dòng điện
- Mô tả chuyển động của con lắc, sóng
- Được sử dụng trong định luật chuyển động thứ hai của Newton và định luật làm lạnh
Ví dụ về ODE
Một số ví dụ về ODE như sau;
Y′=x2– 1dYdx= ( x + y)6xY′= không cóxd2Ydt2+ 2dYdt+ 5 năm= 0 , và( 0 ) = 0 ,Y′( 0 ) = 2Y′ ′=Y′+ xex
Các vấn đề và giải pháp
Các nghiệm của phương trình vi phân thông thường có thể được tìm thấy một cách dễ dàng với sự trợ giúp của tích phân. Xem qua ví dụ dưới đây và có kiến thức về cách giải quyết vấn đề.
Câu hỏi 1:
Tìm nghiệm của phương trình vi phân thông thường y ‘= 2x + 1
Giải pháp:
Cho trước, y ‘= 2x + 1
Bây giờ tích hợp cả hai bên,
∫ y’dx = ∫ (2x + 1) dx
y = 2x 2 /2 + x + C
y = x 2 + x + C
Trong đó C là một hằng số tùy ý.
Câu hỏi 2:
Giải y 4 y ‘+ y’ + x 2 + 1 = 0
Giải pháp:
Lấy, y ‘là thông thường,
y ‘(y 4 +1) = – x 2 -1
Bây giờ tích hợp cả hai bên, chúng tôi nhận được
Y55+ và= –x33– x + CTrong đó C là một hằng số tùy ý.
Để biết thêm các khái niệm toán học, hãy tiếp tục truy cập BYJU’S và xem các video khác nhau liên quan đến toán học để hiểu khái niệm này một cách dễ dàng và hấp dẫn.
Câu hỏi thường gặp – Câu hỏi thường gặp
Phương trình vi phân thông thường là gì? Cho một ví dụ.
Các loại phương trình vi phân thông thường là gì?
Phương trình vi phân bình thường tự trị Phương trình vi phân
bình thường tuyến tính Phương trình vi phân bình thường
phi tuyến tính
Bậc của phương trình vi phân thông thường là gì?
Một phương trình vi phân thông thường rõ ràng là gì?
F (x, y, y ‘,…., Y n-1 ) = y n
Một phương trình vi phân thông thường ngầm định là gì?
F (x, y, y ‘, y’ ‘, …., Y n-1 ) = 0