Các hàm có thể tăng, giảm hoặc có thể không đổi trong các khoảng thời gian trên toàn bộ miền của chúng. Các chức năng liên tục và có thể phân biệt được trong các khoảng thời gian nhất định.
Một khoảng trong Toán học được định nghĩa là một phần liên tục / kết nối trên đường thực. Vì nó là “một phần của dòng”, về cơ bản nó là một đoạn thẳng có hai điểm cuối. Vì vậy, một khoảng có hai điểm cuối. Dễ dàng theo dõi, hãy đặt tên cho khoảng thời gian của chúng ta và các điểm cuối và trong một khoảng thời gian, giả sử hai điểm bất kỳ.
x1 a n d x2 như vậy mà x1<x2. Bây giờ, có thể có tổng cộng bốn trường hợp khác nhau:
Nếuf(x1) ≤ f(x2), hàm được cho là không giảm trong l
Nếuf(x1) ≥ f(x2), hàm được cho là không tăng trong l
Nếuf(x1) > f(x2), hàm được cho là đang giảm (nghiêm ngặt) trong l
Nếuf(x1) < f(x2), chức năng được cho là đang tăng (nghiêm ngặt) trong l
Hành vi tăng hoặc giảm này của các hàm thường được gọi là tính đơn điệu của hàm. Một hàm đơn điệu được định nghĩa là một hàm bất kỳ tuân theo một trong bốn trường hợp nêu trên. Monotonic về cơ bản có hai thuật ngữ trong đó. Mono có nghĩa là một và tonic có nghĩa là giai điệu. Cùng với nhau, nó có nghĩa là, “trong một giai điệu”. Khi chúng ta nói rằng một hàm không giảm, nó có nghĩa là nó đang tăng không? Không. Nó cũng có thể có nghĩa là chức năng không thay đổi chút nào! Nói cách khác, hàm có giá trị không đổi trong một khoảng nào đó. Đừng bao giờ nhầm lẫn giữa không giảm với tăng. Đó là định nghĩa của các hàm tăng và giảm. Bây giờ chúng ta hãy xem làm thế nào để biết chức năng đang hoạt động ở đâu và theo cách nào.
Kiểm tra các chức năng tăng và giảm
Bây giờ chúng ta hãy sử dụng đạo hàm của một hàm để xác định hành vi của một hàm. Để kiểm tra tính đơn điệu của một hàmf, trước tiên chúng tôi tính toán nó là đạo hàm f′. Có một đánh bắt nhỏ ở đây. Trước khi bắt đầu kiểm tra, hãy đảm bảo rằng quá trình đó diễn ra liên tục trong khoảng thời gian[ a , b ] và có thể phân biệt trong ( a , b ). Vì vậy, đối với tất cả bốn trường hợp được thảo luận trong tiêu đề trước, chúng tôi có các thử nghiệm như:
Đối với chức năng không giảm trongl ,f′( x ) ≥ 0 , ∀ x ∈ ( a , b )
Để chức năng không tăng trong l ,f′( x ) ≤ 0 , ∀ x ∈ ( a , b )
Đối với chức năng đang giảm / giảm nghiêm ngặt trongl ,f′( x ) < 0 , ∀ x ∈ ( a , b )
Để chức năng ngày càng tăng / tăng nghiêm ngặt trong l ,f′( x ) > 0 , ∀ x ∈ ( a , b ) <
Hãy để chúng tôi xem ví dụ của từng trường hợp.
| Bản chất của đồ thị của f | Các trường hợp | Hành vi | Kiểm tra |
 |
f (x1) ≤f (x2) | Không giảm | f ‘(x) ≥ 0, ∀ x ∈ (a, b) |
 |
f (x1) ≥ f (x2) | Không tăng | f ‘(x) ≤ 0, ∀ x ∈ (a, b) |
 |
f (x1)> f (x2) | Đang giảm / Đang giảm nghiêm trọng | f ‘(x) <0, ∀ x ∈ (a, b) |
 |
f (x1) <f (x2) | Ngày càng tăng / Nghiêm ngặt | f ‘(x)> 0, ∀ x ∈ (a, b) |
Xem thêm:
