Tích hợp bằng cách thay thế là gì? Xem xong 5 phút hiểu luôn.

Ở đây RHS của phương trình có nghĩa là tích phân của f (x) đối với x.

• F (x) được gọi là phản đạo hàm hay nguyên hàm.
• f (x) được gọi là tích phân.
• dx được gọi là tác nhân tích phân.
• C được gọi là hằng số tích phân hoặc hằng số tùy ý.
• x là biến của tích phân.

Các chống dẫn xuất của các hàm cơ bản đã được chúng ta biết đến. Tích phân của các hàm này có thể dễ dàng thu được. Nhưng kỹ thuật tích phân này chỉ giới hạn trong các hàm cơ bản và để xác định tích phân của các hàm khác nhau, người ta sử dụng các phương pháp tích phân khác nhau. Trong số các phương pháp tích hợp này, chúng ta hãy thảo luận về tích hợp bằng cách thay thế.

Tích hợp bằng phương pháp thay thế

Trong phương pháp tích phân bằng cách thay thế này, bất kỳ tích phân đã cho nào được chuyển thành dạng tích phân đơn giản bằng cách thay biến độc lập bởi các tích phân khác.

Lấy ví dụ một phương trình có một biến độc lập trong x, tức là ∫sin (x ³ ) .3x ² .dx ———————– (i),

Trong phương trình đã cho ở trên, biến độc lập có thể được chuyển thành một biến khác, chẳng hạn như t.

Thay thế x ³ = t ———————- (ii)

Sự khác biệt của phương trình trên sẽ cho-

3x ² .dx = dt ———————- (iii)

Thay giá trị của (ii) và (iii) vào (i), chúng ta có

∫sin (x ³ ) .3x ² .dx = ∫sin t. dt

Như vậy tích phân của phương trình trên sẽ cho

∫sin t. dt = -cos t + c

Một lần nữa đặt lại giá trị của t từ phương trình (ii), chúng ta nhận được

∫sin (x ³ ) .3x ² .dx = -cos x ³ + c

Hình thức chung của tích hợp bằng cách thay thế là:

∫ f (g (x)). G ‘(x) .dx = f (t) .dt, trong đó t = g (x)

Thông thường, phương pháp tích phân bằng cách thay thế cực kỳ hữu ích khi chúng ta thực hiện phép thay thế cho một hàm mà đạo hàm của nó cũng có trong tích phân. Làm như vậy, hàm sẽ đơn giản hóa và sau đó các công thức tích phân cơ bản có thể được sử dụng để tích hợp hàm.

Khi nào thì sử dụng tích hợp bằng phương pháp thay thế?

Trong giải tích, tích phân theo phương pháp thay thế còn được gọi là “Quy tắc chuỗi ngược” hoặc “Phương pháp thay thế chữ U”. Chúng ta có thể sử dụng phương pháp này để tìm một giá trị tích phân khi nó được thiết lập ở dạng đặc biệt. Có nghĩa là tích phân đã cho có dạng:

∫ f (g (x)). G ‘(x) .dx = f (u) .du

Ở đây, trước tiên, tích hợp hàm đối với giá trị được thay thế (f (u)) và kết thúc quá trình bằng cách thay thế hàm ban đầu g (x).

Ví dụ về tích hợp bằng cách thay thế

Để hiểu rõ hơn khái niệm này, chúng ta hãy xem xét các ví dụ.

Ví dụ 1 :

Tìm sự tích hợp của

Giải pháp:

Được :

Cho t = tan ^-1 x …… (1)

dt = (1/1 + x ² ). dx

Tôi = ∫ e ^t . dt

= e ^t + C ……. (2)

Thay giá trị của (1) vào (2), ta có I = e ^tan -1 x + C. Đây là tích phân bắt buộc đối với hàm số đã cho.

Ví dụ 2:

Tích 2x cos (x ² – 5) với x.

Giải pháp:

I = ∫2xcos (x ² – 5) .dx

Cho x ² – 5 = t… .. (1)

2x.dx = dt

Thay thế các giá trị này, chúng ta có

I = ∫cos (t) .dt

= sin t + c… .. (2)

Thay giá trị của 1 trong 2, chúng ta có

= sin (x ² – 5) + C

Xem thêm: 

• Sự khác biệt về Bán hàng và Tiếp thị
• Giới thiệu về Chuyển động tròn đều
• Sự khác biệt giữa Thử nghiệm và gỡ lỗi