Tích hợp theo các bộ phận là gì? Xem xong 5 phút hiểu luôn.

Tích hợp theo công thức bộ phận

Nếu u và v là hai hàm phân biệt bất kỳ của một biến x. Sau đó, theo quy luật khác biệt của sản phẩm, chúng ta có;

d / dx (uv) = u (dv / dx) + v (du / dx)

Bằng cách tích hợp cả hai bên, chúng tôi nhận được;

uv = ∫u (dv / dx) dx + ∫v (du / dx) dx

hoặc là

∫u (dv / dx) dx = uv-∫v (du / dx) dx …………. (1)

Bây giờ chúng ta hãy xem xét,

u = f (x) và dv / dx = g (x)

Vì vậy, chúng ta có thể viết ngay bây giờ;

du / dx = f ‘(x) và v = ∫g (x) dx

Do đó, bây giờ phương trình 1 trở thành;

∫f (x) g (x) dx = f (x) ∫g (x) dx – ∫ [∫g (x) dx] f ‘(x) dx

hoặc là

∫f (x) g (x) dx = f (x) ∫g (x) dx – ∫ [f ‘(x) ∫g (x) dx] dx

Đây là công thức cơ bản được sử dụng để tích hợp các sản phẩm của hai chức năng theo các bộ phận.

Nếu chúng ta coi f là hàm thứ nhất và g là hàm thứ hai, thì công thức này có thể được phát âm là:
“Tích phân của hai hàm = (hàm thứ nhất) × (tích phân của hàm thứ hai) – Tích phân của [( hệ số vi phân của hàm thứ nhất) × (tích phân của hàm thứ hai)] ”.

Quy tắc ILATE

Xác định hàm đứng trước trong danh sách sau và chọn nó là f (x).

ILATE là viết tắt của:

I: Các hàm lượng giác nghịch đảo : arctan x, arcsec x, arcsin x, v.v.

L: Các hàm lôgarit: ln x, log5 (x), v.v.

A: Các hàm đại số.

T: Các hàm lượng giác, chẳng hạn như sin x, cos x, tan x, v.v.

E: Hàm số mũ.

Tích hợp theo công thức uv bộ phận

Như được suy ra ở trên, công thức uv tích hợp theo phần là:

∫du (dvdx) dx = u v – ∫v (dudx) dx

Đây,

u = Hàm của u (x)

v = Hàm của v (x)

dv = Đạo hàm của v (x)

du = Đạo hàm của u (x)

Tích hợp theo các bộ phận có giới hạn

Trong giải tích, tích phân xác định được gọi là tích phân với các giới hạn như giới hạn trên và giới hạn dưới. Cũng có thể suy ra công thức tích phân của các phần có giới hạn. Do đó, công thức là:

∫badu (dvdx) dx = [ u v]ba–∫bav (dudx) dx

Đây,

a = Giới hạn dưới

b = Giới hạn trên

Hãy làm việc

Các ví dụ

Ví dụ- Đánh giá ∫x .exdx

Solution- Từ định lý ILATE, f (x) = x và g (x) =e2

Do đó, sử dụng công thức tích phân theo các bộ phận, chúng ta có

∫f( x ) . g( x ) dx = f( x ) ∫g( x ) dx – ∫f′( x ) . ( ∫g( x ) dx ) dx

∫x .exdx = x . ∫exdx – ∫1. ( ∫exdx ) dx

= x .ex–ex+ c

Ví dụ- Đánh giá ∫x2–a2——√

Giải pháp- Chọn chức năng đầu tiên để trở thànhx2–a2——√ và hàm thứ hai là 1.

∫x2–a2——√ = x2–a2——√∫1. dx – ∫12.2 xx2–a2√. ( ∫1. dx ) . dx

Tôi = x .x2–a2——√– ∫x2x2–a2√. dx

Cộng và trừ a2 trong phần sau của tích phân ta có

Tôi = x .x2–a2——√– ∫x2–a2+a2x2–a2√. dx

Tôi = x .x2–a2——√– ∫x2–a2x2–a2√. dx – ∫a2x2–a2√. dx

Tôi = x .x2–a2——√ – TÔI – a2∫1x2–a2√. dx

2I = x .x2–a2——√–a2khúc gỗ∣∣x +x2–a2——√∣∣+ C

Tôi = =x .x2–a2√2–a22khúc gỗ∣∣x +x2–a2——√∣∣+C1

Ví dụ- Đánh giá ∫10arctanx . dx

Giải pháp- Hãy

u = arctanx                    dv = dx

du =11 +x2. dx             v = x

Tích hợp theo các bộ phận-

∫10arctanx . dx = =( x arctanx )10–∫10x1 +x2dx

= (Số Pi4– 0 ) –(12ln( 1 +x2) )10

= (Số Pi4) –12ln2

= (Số Pi4) –ln2-√

Tìm hiểu thêm về Tích hợp, Tích hợp bằng cách thay thế và nhiều hơn nữa. Đăng ký với BYJU’S ngay hôm nay và có quyền truy cập vào tài liệu miễn phí về các khái niệm khác nhau.