Tích phân xác định – Giải tích

Định nghĩa tích phân xác định

Tích phân xác định của một hàm có giá trị thực f (x) đối với một biến số thực x trên khoảng [a, b] được biểu thị bằng

Đây,

∫ = Biểu tượng tích hợp

a = Giới hạn dưới

b = Giới hạn trên

f (x) = Tích phân

dx = Tác nhân tích hợp

Do đó, ∫ _a ^b f (x) dx được đọc là tích phân xác định của f (x) đối với dx từ a đến b.

Tích phân xác định dưới dạng giới hạn của tổng

Tích phân xác định của bất kỳ hàm nào có thể được biểu diễn dưới dạng giới hạn của một tổng hoặc nếu tồn tại một đạo hàm F trong khoảng [a, b], thì tích phân xác định của hàm là hiệu của các giá trị tại điểm a và b . Chúng ta hãy thảo luận về tích phân xác định như là một giới hạn của một tổng. Xét một hàm f liên tục theo x xác định trong khoảng đóng [a, b]. Giả sử f (x)> 0, đồ thị sau mô tả f theo x.

Tích phân của f (x) là diện tích của vùng giới hạn bởi đường cong y = f (x). Diện tích này được biểu diễn bởi vùng ABCD như hình trên. Toàn bộ vùng nằm giữa [a, b] này được chia thành n khoảng con bằng nhau được cho bởi [x ₀ , x ₁ ], [x ₁ , x ₂ ], …… [x _r-1 , x _r ], [x _{n- 1} , x _n ].

Chúng ta hãy coi độ rộng của mỗi khoảng con là h sao cho h → 0, x ₀ = a, x ₁ = a + h, x ₂ = a + 2h,… .., x _r = a + rh, x _n = b = a + nh

và n = (b – a) / h

Ngoài ra, n → ∞ trong biểu diễn trên.

Bây giờ, trong hình trên, chúng ta viết diện tích của các vùng và khoảng cụ thể là:

Diện tích hình chữ nhật PQFR <diện tích vùng PQSRP <diện tích hình chữ nhật PQSE…. (1)

Từ. h → 0, do đó x _r – x _r-1 → 0. Các tổng sau đây có thể được thiết lập là;

Từ bất đẳng thức thứ nhất, nếu xét bất kỳ giao thức con tùy ý [x _r-1 , x _r ] trong đó r = 1, 2, 3… .n, có thể nói rằng, s _n <diện tích của vùng ABCD <S _n

Vì, n → ∞, các dải hình chữ nhật rất hẹp, có thể giả thiết rằng các giá trị giới hạn của s _n và S _n là bằng nhau và giá trị giới hạn chung cho chúng ta diện tích dưới đường cong, tức là,

Từ đó, có thể nói rằng diện tích này cũng là giá trị giới hạn của một vùng nằm giữa các hình chữ nhật bên dưới và bên trên đường cong. Vì thế,

Đây được gọi là định nghĩa của tích phân xác định là giới hạn của tổng.

Thuộc tính tích phân xác định

Dưới đây là danh sách một số tính chất thiết yếu của tích phân xác định . Điều này sẽ giúp đánh giá các tích phân xác định hiệu quả hơn .

• ∫ _a ^b  f (x) dx = ∫ _a ^b  f (t) d (t)
• ∫ _a ^b  f (x) dx = – ∫ _b ^a  f (x) dx
• ∫ _a ^a  f (x) dx = 0
• ∫ _a ^b  f (x) dx = ∫ _a ^c f (x) dx + ∫ _c ^b f (x) dx
• ∫ _a ^b  f (x) dx = ∫ _a ^b f (a + b – x) dx
• ∫ ₀ ^a  f (x) dx = f (a – x) dx

Các bước tính ∫ a b f (x) dx

Bước 1: Tìm tích phân bất định ∫f (x) dx. Gọi là F (x). Không cần phải giữ

hằng số tích phân C. Điều này là do nếu chúng ta xem xét F (x) + C thay vì F (x), chúng ta nhận được

∫ _a ^b f (x) dx = [F (x) + C] _a ^b = [F (b) + C] – [F (a) + C] = F (b) + C – F (a) – C = F (b) – F (a)

Do đó, hằng số tùy ý sẽ không xuất hiện trong việc đánh giá giá trị của tích phân xác định.

Bước 2: Tính giá trị của F (b) – F (a) = [F (x)] _a ^b

Do đó, giá trị của ∫ _a ^b f (x) dx = F (b) – F (a)

Tích phân xác định theo các bộ phận

Dưới đây là các công thức để tìm tích phân xác định của một hàm bằng cách chia nó thành các phần.

• ∫ ₀ ^2a f (x) dx = ∫ ₀ ^a f (x) dx + ∫ ₀ ^a  f (2a – x) dx
• ∫ ₀ ^2a  f (x) dx = 2 ∫ ₀ ^a  f (x) dx… nếu f (2a – x) = f (x).
• ∫ ₀ ^2a  f (x) dx = 0… nếu f (2a – x) = – f (x)
• ∫ -a ^a  f (x) dx = 2 ∫ ₀ ^a  f (x) dx… nếu f (- x) = f (x) hoặc nó là một hàm chẵn
• ∫ _-a ^a  f (x) dx = 0… nếu f (- x) = – f (x) hoặc nó là một hàm lẻ

Ví dụ về tích phân xác định

Ví dụ 1:

Đánh giá giá trị của ∫ ₂ ³ x ² dx.

Giải pháp:

Cho I = ∫ ₂ ³  x ²  dx

Bây giờ, ∫x ²  dx = (x ³ ) / 3

Bây giờ, I = ∫ ₂ ³  x ²  dx = [(x ³ ) / 3] ₂ ³

= (3 ³ ) / 3 – (2 ³ ) / 3

= (27/3) – (8/3)

= (27 – 8) / 3

= 19/3

Do đó, ∫ ₂ ³ x ²  dx = 19/3

Ví dụ 2:

Tính: ∫ ₀ ^{π / 4} sin 2x dx

Giải pháp:

Cho I = ∫ ₀  ^{π / 4} sin 2x dx

Bây giờ, ∫ sin 2x dx = – (½) cos 2x

I = ∫ ₀  ^{π / 4} sin 2x dx

= [- (½) cos 2x] ₀ ^{π / 4}

= – (½) cos 2 (π / 4) – {- (½) cos 2 (0)}

= – (½) cos π / 2 + (½) cos 0

= – (½) (0) + (½)

= 1/2

Do đó, ∫ ₀  ^{π / 4} sin 2x  dx = 1/2

Để tìm hiểu thêm về các công thức tích phân xác định và bộ giải tích phân, hãy tải xuống BYJU’S – Ứng dụng Học tập.