Cổng Thông Tin Đại Học, Cao Đẳng Lớn Nhất Việt Nam

Tích phân xác định – Giải tích

KHOA Y DƯỢC HÀ NỘI

Thẳng tiến vào đại học chỉ với: Điểm lớp 12 Từ 6,5 Điểm thi từ 18

  • Để đảm bảo chất lượng học và dạy cũng như chất lượng đầu ra cho sinh viên, năm 2021 Khoa nhận đào tạo 200 sinh viên đối với ngành Đại Học Điều DưỡngDược tuyển sinh theo hình thức xét tuyển.
  • HOẶC NỘP HỒ SƠ TRỰC TUYẾN TẠI ĐÂY >>>  CLICK VÀO ĐÂY 

Trước khi đi tìm hiểu về tích phân xác định, trước hết bạn hãy học lại khái niệm tích phân. Một tích phân gán các số cho các hàm trong toán học để xác định độ dịch chuyển, diện tích, thể tích và các khái niệm khác phát sinh bằng cách kết nối dữ liệu nhỏ. Quá trình tìm tích phân được gọi là tích phân. Tích phân xác định được sử dụng khi các giới hạn được xác định để tạo ra một giá trị duy nhất. Tích phân không xác định được thực hiện khi các ranh giới của tích phân không xác định. Trong trường hợp, giới hạn dưới và giới hạn trên của biến độc lập của một hàm được chỉ định, thì tích phân của nó được mô tả bằng cách sử dụng các tích phân xác định  .

Định nghĩa tích phân xác định

Tích phân xác định của một hàm có giá trị thực f (x) đối với một biến số thực x trên khoảng [a, b] được biểu thị bằng

Inetgral xác định

Đây,

∫ = Biểu tượng tích hợp

a = Giới hạn dưới

b = Giới hạn trên

f (x) = Tích phân

dx = Tác nhân tích hợp

Do đó, ∫ b f (x) dx được đọc là tích phân xác định của f (x) đối với dx từ a đến b.

Đồ thị tích phân xác định

Đọc thêm:

  • Công thức tích phân & tích phân Riemann xác định
  • Máy tính tích phân xác định
  • Tích phân xác định – Đánh giá

 

Tích phân xác định dưới dạng giới hạn của tổng

Tích phân xác định của bất kỳ hàm nào có thể được biểu diễn dưới dạng giới hạn của một tổng hoặc nếu tồn tại một đạo hàm F trong khoảng [a, b], thì tích phân xác định của hàm là hiệu của các giá trị tại điểm a và b . Chúng ta hãy thảo luận về tích phân xác định như là một giới hạn của một tổng. Xét một hàm f liên tục theo x xác định trong khoảng đóng [a, b]. Giả sử f (x)> 0, đồ thị sau mô tả f theo x.

Tích phân xác định như một giới hạn của tổng

Tích phân của f (x) là diện tích của vùng giới hạn bởi đường cong y = f (x). Diện tích này được biểu diễn bởi vùng ABCD như hình trên. Toàn bộ vùng nằm giữa [a, b] này được chia thành n khoảng con bằng nhau được cho bởi [x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], …… [x r-1 , x r ], [x n- 1 , x n ].

Chúng ta hãy coi độ rộng của mỗi khoảng con là h sao cho h → 0, x 0 = a, x 1 = a + h, x 2 = a + 2h,… .., x r = a + rh, x n = b = a + nh

và n = (b – a) / h

Ngoài ra, n → ∞ trong biểu diễn trên.

Bây giờ, trong hình trên, chúng ta viết diện tích của các vùng và khoảng cụ thể là:

Diện tích hình chữ nhật PQFR <diện tích vùng PQSRP <diện tích hình chữ nhật PQSE…. (1)

Từ. h → 0, do đó x r – x r-1 → 0. Các tổng sau đây có thể được thiết lập là;

Tích phân xác định 1

Từ bất đẳng thức thứ nhất, nếu xét bất kỳ giao thức con tùy ý [x r-1 , x r ] trong đó r = 1, 2, 3… .n, có thể nói rằng, s n <diện tích của vùng ABCD <S n

Vì, n → ∞, các dải hình chữ nhật rất hẹp, có thể giả thiết rằng các giá trị giới hạn của s n và S n là bằng nhau và giá trị giới hạn chung cho chúng ta diện tích dưới đường cong, tức là,

Diện tích tích phân xác định dưới đường cong

Từ đó, có thể nói rằng diện tích này cũng là giá trị giới hạn của một vùng nằm giữa các hình chữ nhật bên dưới và bên trên đường cong. Vì thế,

Khai triển tích phân xác định

Đây được gọi là định nghĩa của tích phân xác định là giới hạn của tổng.

Thuộc tính tích phân xác định

Dưới đây là danh sách một số tính chất thiết yếu của tích phân xác định . Điều này sẽ giúp đánh giá các tích phân xác định hiệu quả hơn .

  • ∫  f (x) dx = ∫  f (t) d (t)
  • ∫  f (x) dx = – ∫  f (x) dx
  • ∫  f (x) dx = 0
  • ∫  f (x) dx = ∫ c f (x) dx + ∫ b f (x) dx
  • ∫  f (x) dx = ∫ b f (a + b – x) dx
  • ∫  f (x) dx = f (a – x) dx

Các bước tính ∫ f (x) dx

Bước 1: Tìm tích phân bất định ∫f (x) dx. Gọi là F (x). Không cần phải giữ

hằng số tích phân C. Điều này là do nếu chúng ta xem xét F (x) + C thay vì F (x), chúng ta nhận được

∫ b f (x) dx = [F (x) + C] b = [F (b) + C] – [F (a) + C] = F (b) + C – F (a) – C = F (b) – F (a)

Do đó, hằng số tùy ý sẽ không xuất hiện trong việc đánh giá giá trị của tích phân xác định.

Bước 2: Tính giá trị của F (b) – F (a) = [F (x)] b

Do đó, giá trị của ∫ b f (x) dx = F (b) – F (a)

Tích phân xác định theo các bộ phận

Dưới đây là các công thức để tìm tích phân xác định của một hàm bằng cách chia nó thành các phần.

  • ∫ 2a f (x) dx = ∫ a f (x) dx + ∫  f (2a – x) dx
  • ∫ 2a  f (x) dx = 2 ∫  f (x) dx… nếu f (2a – x) = f (x).
  • ∫ 2a  f (x) dx = 0… nếu f (2a – x) = – f (x)
  • ∫ -a a  f (x) dx = 2 ∫  f (x) dx… nếu f (- x) = f (x) hoặc nó là một hàm chẵn
  • ∫ -a a  f (x) dx = 0… nếu f (- x) = – f (x) hoặc nó là một hàm lẻ

 

Ví dụ về tích phân xác định

Ví dụ 1:

Đánh giá giá trị của ∫ 3 x 2 dx.

Giải pháp:

Cho I = ∫  x 2  dx

Bây giờ, ∫x 2  dx = (x 3 ) / 3

Bây giờ, I = ∫  x 2  dx = [(x 3 ) / 3] 3

= (3 3 ) / 3 – (2 3 ) / 3

= (27/3) – (8/3)

= (27 – 8) / 3

= 19/3

Do đó, ∫ 3 x 2  dx = 19/3

Ví dụ 2:

Tính: ∫ π / 4 sin 2x dx

Giải pháp:

Cho I = ∫  π / 4 sin 2x dx

Bây giờ, ∫ sin 2x dx = – (½) cos 2x

I = ∫  π / 4 sin 2x dx

= [- (½) cos 2x] π / 4

= – (½) cos 2 (π / 4) – {- (½) cos 2 (0)}

= – (½) cos π / 2 + (½) cos 0

= – (½) (0) + (½)

= 1/2

Do đó, ∫  π / 4 sin 2x  dx = 1/2

Để tìm hiểu thêm về các công thức tích phân xác định và bộ giải tích phân, hãy tải xuống BYJU’S – Ứng dụng Học tập.

Các câu hỏi thường gặp về Tích phân xác định

Một tích phân xác định là gì?

Tích phân xác định có một giá trị duy nhất. Một tích phân xác định được ký hiệu là ∫_ {a} ^ {b} f (x) dx, trong đó a được gọi là giới hạn dưới của tích phân và b được gọi là giới hạn trên của tích phân.

Công thức cho tích phân xác định là gì?

Công thức tính tích phân xác định của hàm f (x) trong khoảng [a, b] được cho bởi,
∫_ {a} ^ {b} f (x) dx = F (b) – F (a)

Một tích phân xác định được sử dụng để làm gì?

Chúng ta có thể sử dụng các tích phân xác định để tìm diện tích dưới, trên hoặc giữa các đường cong trong giải tích. Nếu một hàm số hoàn toàn dương, diện tích giữa đường cong của hàm số và trục x bằng tích phân xác định của hàm số trong khoảng đã cho. Trong trường hợp của một hàm âm, diện tích sẽ bằng -1 lần tích phân xác định.

Một tích phân xác định có thể là số âm không?

Đúng, giá trị của một tích phân xác định có thể âm, dương hoặc bằng không.

Các tích phân xác định có C không?

Không, tích phân xác định không có C. Vì không yêu cầu thêm hằng số tùy ý, tức là C trong trường hợp tích phân xác định.
0 0 votes
Article Rating
Theo dõi
Thông báo của
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Khoa Y Dược Hà Nội tuyển sinh chính quy

GIẢI TOÁN ONLINE SIÊU NHANH VÀ CHÍNH XÁC NHẤT

Bài viết mới nhất

Thi trắc nghiệm online
https://tintuctuyensinh.vn/wp-content/uploads/2021/10/Autumn-Sale-Facebook-Event-Cover-Template-1.png
0
Would love your thoughts, please comment.x
()
x