• Quy tắc quyền lực
• Quy tắc Tổng và Chênh lệch
• Quy tắc nhân
• Quy tắc thương số
• Quy tắc chuỗi

Quy tắc quyền lực của phái sinh

Đây là một trong những quy tắc phổ biến nhất của các công cụ phái sinh. Nếu x là một biến và được nâng lên lũy thừa n, thì đạo hàm của x được nâng lên lũy thừa được biểu diễn bằng:

d / dx (x ⁿ ) = nx ^n-1

Ví dụ: Tìm đạo hàm của x ⁵

Giải pháp: Theo quy tắc quyền lực, chúng tôi biết;

d / dx (x ⁿ ) = nx ^n-1

Do đó, d / dx (x ⁵ ) = 5x ^5-1 = 5x ⁴

Quy tắc tổng của phái sinh

Nếu hàm là tổng hoặc hiệu của hai hàm, thì đạo hàm của hàm là tổng hoặc hiệu của các hàm riêng lẻ, tức là

Nếu f (x) = u (x) ± v (x), thì;

Ví dụ 1: f (x) = x + x ³

Giải: Bằng cách áp dụng quy tắc tổng của đạo hàm ở đây, ta có:

f ‘(x) = u’ (x) + v ‘(x)

Bây giờ, phân biệt các chức năng đã cho, chúng ta nhận được;

f ‘(x) = d / dx (x + x ³ )

f ‘(x) = d / dx (x) + d / dx (x ³ )

f ‘(x) = 1 + 3x ²

Ví dụ 2:  Tìm đạo hàm của hàm số f (x) = 6x ² – 4x.

Giải pháp:

Hàm số đã cho là: f (x) = 6x ²  – 4x

Đây có dạng f (x) = u (x) – v (x)

Vì vậy, bằng cách áp dụng quy tắc khác biệt của các dẫn xuất, chúng tôi nhận được,

f ‘(x) = d / dx (6x ² ) – d / dx (4x)

= 6 (2x) – 4 (1)

= 12x – 4

Do đó, f ‘(x) = 12x – 4

Quy tắc sản phẩm phái sinh

Theo quy tắc tích của đạo hàm , nếu hàm số f (x) là tích của hai hàm số u (x) và v (x) thì đạo hàm của hàm số được cho bởi:

Nếu f (x) = u (x) × v (x), thì:

Ví dụ: Tìm đạo hàm của x ² (x + 3).

Lời giải: Theo quy tắc tích của đạo hàm, chúng ta biết;

f ′ (x) = u ′ (x) × v (x) + u (x) × v ′ (x)

Đây,

u (x) = x ² và v (x) = x + 3

Do đó, về phân biệt hàm số đã cho, ta nhận được;

f ‘(x) = d / dx [x ² (x + 3)]

f ‘(x) = d / dx (x ² ) (x + 3) + x ² d / dx (x + 3)

f ‘(x) = 2x (x + 3) + x ² (1)

f ‘(x) = 2x ² + 6x + x ²

f ‘(x) = 3x ² + 6x

f ‘(x) = 3x (x + 2)

Quy tắc thương số của các phái sinh

Nếu f (x) là một hàm số đồng biến với tỉ số của hai hàm số u (x) và v (x) sao cho;

f (x) = u (x) / v (x)

Khi đó, theo quy tắc thương số , đạo hàm của f (x) được cho bởi;

Ví dụ: Phân biệt f (x) = (x + 2) ³ / √x

Giải pháp: Đưa ra,

f (x) = (x + 2) ³ / √x

= (x + 2) (x ² + 4x + 4) / √x

= [x ³ + 6x ² + 12x + 8] / x ^1/2

= x ^-1/2 (x ³ + 6x ² + 12x + 8)

= x ^5/2 + 6x ^3/2 + 12x ^1/2 + 8x ^-½

Bây giờ, phân biệt phương trình đã cho, chúng ta nhận được;

f ‘(x) = 5 / 2x ^3/2 + 6 (3 / 2x ^1/2 ) +12 (1 / 2x ^-1/2 ) +8 (−1 / 2x ^-3/2 )

= 5 / 2x ^3/2 + 9x ^1/2 + 6x ^-½ – 4x ^-3/2

Quy tắc chuỗi của phái sinh

Nếu một hàm y = f (x) = g (u) và nếu u = h (x), thì quy tắc chuỗi phân biệt được xác định là;

Quy tắc này chủ yếu được sử dụng trong phương pháp thay thế, nơi chúng ta có thể thực hiện phân biệt các hàm tổng hợp.

Hãy xem các ví dụ được đưa ra dưới đây để hiểu rõ hơn về sự phân biệt quy tắc chuỗi của các chức năng.

Ví dụ 1:

Phân biệt f (x) = (x ⁴ – 1) ⁵⁰

Giải pháp:

Được,

f (x) = (x ⁴  – 1) ⁵⁰

Cho g (x) = x ⁴  – 1 và n = 50

u (t) = t ⁵⁰

Như vậy, t = g (x) = x ⁴  – 1

f (x) = u (g (x))

Theo quy tắc dây chuyền,

df / dx = (du / dt) × (dt / dx)

Đây,

du / dt = d / dt (t 50 ) = 50t ⁴⁹

dt / dx = d / dx g (x)

= d / dx (x ⁴  – 1)

= 4x ³

Do đó, df / dx = 50t ⁴⁹  × (4x ³ )

= 50 (x ⁴  – 1) ⁴⁹  × (4x ³ )

= 200 x ³ (x ⁴  – 1) ⁴⁹

Ví dụ 2: 

Tìm đạo hàm của f (x) = e ^{sin (2x)}

Giải pháp:

Được,

f (x) = e ^{sin (2x)}

Cho t = g (x) = sin 2x và u (t) = e ^t

Theo quy tắc dây chuyền,

df / dx = (du / dt) × (dt / dx)

Đây,

du / dt = d / dt (e ^t ) = e ^t

dt / dx = d / dx g (x)

= d / dx (sin 2x)

= 2 cos 2x

Do đó, df / dx = e ^t  × 2 cos 2x

= e ^{sin (2x)}  × 2 cos 2x

= 2 cos (2x) e ^{sin (2x)}