có thể dễ dàng tích hợp.
Ngược lại, một phương trình vi phân là thuần nhất nếu nó là một hàm tương tự của hàm ẩn và các đạo hàm của nó. Đối với phương trình vi phân tuyến tính, không có số hạng nào là hằng số. Các nghiệm của bất kỳ phương trình vi phân tuyến tính thông thường có bậc hoặc bậc nào có thể được tính bằng tích phân từ nghiệm của phương trình thuần nhất đạt được bằng cách loại bỏ số hạng hằng số.
Hãy xem xét các hàm sau theo x và y,
F 1 (x, y) = 2x – 8y
F 2 (x, y) = x 2 + 8xy + 9y 2
F 3 (x, y) = sin (x / y)
F 4 (x, y) = sin x + cos y
Nếu chúng ta thay thế x và y tương ứng với vx và vy, với giá trị khác 0 của v, chúng ta nhận được
F 1 (vx, vy) = 2 (vx) −8 (vy) = v (2x – 8y) = vF 1 (x, y)
F 2 (vx, vy) = v 2 x 2 + 8 (vx) (vy) + 9v 2 y 2 = v 2 (x 2 + 8xy + 9y 2 ) = v 2 F 2 (x, y)
F 3 (vx, vy) = sin (vx / vy) = v 0 sin (vx / vy) = v 0 F 3 (x, y)
F 4 (vx, vy) = sin (vx) + cos (vy) ≠ v n F 4 (x, y)
Do đó, các hàm F 1 , F 2 , F 3 có thể được viết dưới dạng v n F (x, y), trong khi F 4 không thể được viết. Do đó, ba chức năng đầu tiên là các chức năng đồng nhất và chức năng cuối cùng là không đồng nhất.
Ngoài ra, hãy đọc:
|
Các bước giải phương trình vi phân đồng nhất
Chắc hẳn các bạn đã học cách giải phương trình vi phân ở các phần trước. Để giải một phương trình vi phân thuần nhất, các bước sau được thực hiện theo các bước sau:
Cho phương trình vi phân loại d yd x= F( x , y) = g(Yx)
Bước 1- Thay y = vx vào phương trình vi phân đã cho.
Bước 2 – Phân biệt, chúng tôi nhận được,dYdx= v + xdvdx. Bây giờ thay giá trị của và y vào phương trình vi phân đã cho, chúng ta nhận được
v + xdvdx= g( v )
⇒ xdvdx= g( v ) – v
Bước 3 – Tách các biến, chúng ta nhận được
dvg( v ) – v=dxx
Bước 4 – Tích cả hai vế của phương trình, ta có
∫dvg( v ) – vdv = ∫dxx+ C
Bước 5 – Sau khi tích hợp chúng ta thay thế v = y / x
Ví dụ đã giải quyết
Giải ra dy / dx = (xy) / (x + y)
Lời giải: Cho, dy / dx = (xy) / (x + y)
Chia RHS cho x
((xy) / x) / ((x + y) / x) = (1-y / x) / (1 + y / x)
Bây giờ, chúng ta có thể viết;
dy / dx = (1-y / x) / (1 + y / x)
Nếu y = vx và dy / dx = v + xdv / dx
Sau đó,
v + xdv / dx = (1-v) / (1 + v)
Trừ v từ cả hai phía;
xdv / dx = (1-v) / (1 + v) – v
xdv / dx = [(1-v) / (1 + v)] – [(v + v 2 ) / (1 + v)]
xdv / dx = (1-2v-v 2 )) / (1 + v)
Bây giờ chúng ta có thể sử dụng phương pháp phân tách các biến;
(1 + v) / (1-2v-v 2 ) dv = (1 / x) dx
Tích hợp cả hai bên;
∫ (1 + v) / (1-2v-v 2 ) dv = ∫ (1 / x) dx
-1/2 ln (1-2v-v 2 ) = ln (x) + C
Đặt C = ln (k)
-1/2 ln (1-2v-v 2 ) = ln (x) + ln (k)
(1-2v-v 2 ) -1/2 = kx
hoặc chúng ta có thể viết;
1-2v-v 2 = 1 / k 2 x 2
Một lần nữa, đặt v = y / x;
1-2 (y / x) – (y / x) 2 = 1 / k 2 x 2
Loại bỏ số hạng x 2 khỏi mẫu số ở cả hai vế, ta được;
x 2 -2xy-y 2 = 1 / k 2
hoặc là
y 2 + 2xy-x 2 = -1 / k 2
Bây giờ, đặt – / k 2 = c
Thêm 2x 2 vào cả hai bên;
y 2 + 2xy + x 2 = c + 2x 2
Bây giờ tính nhân tử của phương trình trên, chúng ta nhận được;
(y + x) 2 = 2x 2 + c
y + x = √ (2x 2 ) + c
Hoặc y = ± √ (2x 2 + c) – x
Đây là lời giải cho phương trình đã cho.
Phương trình vi phân không thuần nhất
Một phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất bậc hai được biểu diễn bởi;
y ”+ p (t) y ‘+ q (t) y = g (t)
trong đó g (t) là một hàm khác 0.
Phương trình thuần nhất liên kết là;
y ”+ p (t) y ‘+ q (t) y = 0
mà còn được gọi là phương trình bổ sung.
Đây là tất cả về giải pháp cho phương trình vi phân thuần nhất. Để tìm hiểu thêm về chủ đề này, hãy tải xuống BYJU’S- Ứng dụng Học tập.
Ví dụ về phương trình thuần nhất
Q.1: Tìm phương trình của đường cong đi qua điểm ( 2 ,Số Pi3) khi tiếp tuyến tại một điểm bất kỳ tạo thành một góc t an– 1(Yx– s in2Yx).
Giải pháp: ϕ = t an–1 (Yx– s in2Yx) Hoặc là dYdx= t a n ϕ =Yx– s in2Yx Vì phương trình này biểu diễn một phương trình vi phân loại thuần nhất do đó chúng ta thay thế Y= v x trong phương trình trên. ⇒ v + xdvdx= v – s tôin2v ⇒ xdvdx= – s tôin2v ⇒dxx= – c hoặc s ec2v dv Bây giờ tích hợp cả hai cạnh wrt tương ứng với x và v, chúng ta nhận được ∫dxx= ∫– c hoặc s ec2v dv l n x =1t a n v+ C …………………(Tôi) Cũng như khi nó đi qua điểm ( 2 ,Số Pi3), cho (x, y). Chúng ta biết rằng v = y / x, do đó giá trị của v = Số Pi3÷ 2 =Số Pi6 Vì vậy, thay các giá trị của x và v vào phương trình (i), chúng ta nhận được l n 2 =3-√+ C ⇒ C= l n 2 –3-√ Hoặc là l n x =1t a n v+ l n 2 –3-√ Hoặc là l n x =1t a nYx+ l n 2 –3-√ Đây là giải pháp bắt buộc. Q.2: Tìm phương trình của đường cong đi qua điểm (1, -2) khi tiếp tuyến tại một điểm bất kỳ cho bởi Y( x +Y3)x (Y3– x ). Giải: Phương trình tiếp tuyến biểu diễn hệ số góc của đường cong tức là Phương trình này là thuần nhất về bản chất. Trên phép nhân chéo, chúng tôi nhận được- ( xY3–x2) dY= ( x y+Y4) dx Giải phương trình, chúng ta nhận được x2Y3( x dY– vàdx )x2– x ( x dY– vàdx ) = 0 ⇒x2Y3dYx– x d( x y) = 0 Chia cả hai bên bằng x3Y2 chúng tôi nhận được, Yxd(Yx) –d( xy)x2Y2= 0 Bây giờ tích phân phương trình này với Yxmột n dx y chúng ta có, ∫Yxd(Yx) = ∫d( xy)x2Y2 12(Yx)2= –1x y+ C………………. (1) Bây giờ thay giá trị của điểm đã cho vào phương trình trên, chúng ta có ⇒12× 4 –12= C ⇒ C=32 Đặt giá trị này của hằng số C vào phương trình (1) ta được 12(Yx)2+1x y=32 Đây là giải pháp bắt buộc. |
Xem thêm: