Đa thức là một biểu thức đại số kiểu a n x n + a n − 1 x n − 1 + ………………… a 2 x 2 + a 1 x + a 0 , trong đó “n” là 0 hoặc biến dương và hệ số thực.
Trong biểu thức này, a n , a n − 1 … ..a 1 , a 0 là các hệ số của các số hạng của đa thức.
Lũy thừa cao nhất của x trong biểu thức trên, tức là n được gọi là bậc của đa thức.
Nếu p (x) biểu diễn một đa thức và x = k sao cho p (k) = 0 thì k là căn của đa thức đã cho.
| Ví dụ: Cho một phương trình đa thức, p (x) = x 2 –x – 2. Tìm các số 0 của phương trình.
Giải pháp: Cho đa thức, p (x) = x 2 –x – 2 Các số 0 của phương trình được cho bởi: x 2 –2x + x – 2 = 0 x (x − 2) +1 (x – 2) (x + 1) (x − 2) = 0 ⇒ x = −1 Hoặc, x = 2 Do đó, -1 và 2 là số 0 của đa thức đã cho. |
Cần lưu ý rằng lũy thừa (bậc) cao nhất của đa thức cho số 0 lớn nhất của đa thức.
Contents
Phân chia đa thức
Phép chia là quá trình chia nhỏ một lượng thành các lượng bằng nhau. Về mặt toán học, quá trình lặp đi lặp lại phép trừ hoặc hoạt động ngược lại của phép nhân được gọi là phép chia. Ví dụ, khi 20 chia cho 4, chúng ta nhận được kết quả là 5 vì 4 bị trừ đi 5 lần cho 20.
Bốn hoạt động cơ bản viz. cộng, trừ, nhân và chia cũng có thể được thực hiện trên các biểu thức đại số . Chúng ta hãy hiểu quy trình và các phương pháp khác nhau của phép chia đa thức và biểu thức đại số .
Các kiểu phân chia đa thức
Để chia đa thức, nói chung, có thể phát sinh ba trường hợp:
- Chia đơn thức cho đơn thức khác
- Chia một đa thức cho đơn thức
- Chia một đa thức cho nhị thức
- Phép chia một đa thức cho một đa thức khác
Hãy để chúng tôi thảo luận từng trường hợp một:
Chia đơn thức cho đơn thức khác
Xét biểu thức đại số 40x 2 chia hết cho 10x thì
40x 2 / 10x = (2 × 2 × 5 × 2 × x × x) / (2 × 5 × x)
Ở đây, 2, 5 và x là chung ở cả tử số và mẫu số.
Do đó, 40x 2 / 10x = 4x
Chia một đa thức cho đơn thức
Trường hợp thứ hai là khi chia một đa thức cho một đơn thức. Đối với đa thức chia, mỗi số hạng của đa thức được chia riêng cho đơn thức (như đã mô tả ở trên) và thương của mỗi phép chia được cộng để được kết quả. Hãy xem xét ví dụ sau:
| Ví dụ: Chia 24x 3 – 12xy + 9x cho 3x. Lời giải: Biểu thức 24x 3 – 12xy + 9x đã cho có ba số hạng là viz. 24x 3 , – 12xy và 9x. Để chia đa thức với một đơn thức, mỗi số hạng được chia riêng như hình dưới đây: (24x 3 –12xy + 9x) / 3x = (24x 3 / 3x) – (12xy / 3x) + (9x / 3x) = 8x 2 – 4y + 3 |
Chia một đa thức theo nhị thức
Như chúng ta đã biết, nhị thức là một biểu thức có hai số hạng. Chia một đa thức cho nhị thức có thể được thực hiện một cách dễ dàng. Ở đây, trước tiên chúng ta cần viết đa thức đã cho ở dạng chuẩn. Bây giờ, sử dụng phương pháp chia dài, chúng ta có thể chia đa thức như cho dưới đây.
| Ví dụ: Chia 3x 3 – 8x + 5 cho x – 1.
Giải pháp: Số bị chia là 3x 3 – 8x + 5 và số bị chia là x – 1. Sau đó, số hạng đứng đầu của số bị chia được chia cho số hạng đứng đầu của số bị chia tức là 3x 3 ÷ x = 3x 2 . Kết quả này được nhân với số chia nghĩa là 3x 2 (x -1) = 3x 3 -3x 2 và nó được trừ vào số bị chia. Bây giờ một lần nữa, kết quả này được coi là một cổ tức và các bước tương tự được lặp lại cho đến khi phần còn lại trở thành “0” hoặc mức độ của nó trở nên nhỏ hơn số chia như được hiển thị bên dưới.
|
Chia đa thức cho đa thức khác
Để chia một đa thức với một đa thức khác, đa thức được viết ở dạng chuẩn tức là các số hạng của số bị chia và số bị chia được sắp xếp theo thứ tự giảm dần bậc của chúng. Phương pháp để giải quyết các kiểu chia này là “Phép chia dài”. Trong đại số, một thuật toán để chia một đa thức cho một đa thức khác có cùng bậc hoặc thấp hơn được gọi là phép chia dài đa thức. Nó là phiên bản tổng quát của kỹ thuật số học quen thuộc được gọi là phép chia dài. Chúng ta hãy lấy một ví dụ.
Ví dụ: Chia x 2 + 2x + 3x 3 + 5 cho 1 + 2x + x 2 .
Giải pháp:
Hãy sắp xếp đa thức bị chia ở dạng chuẩn.
3x 3 + x 2 + 2x + 5
Số chia = x 2 + 2x + 1
Sử dụng phương pháp chia dài các đa thức, ta chia 3x 3 + x 2 + 2x + 5 cho x 2 + 2x + 1.
Bước 1: Để có số hạng đầu tiên của thương, hãy chia số hạng cao nhất của số bị chia, tức là 3x 3 cho số hạng cao nhất của số bị chia, tức là x 2 .
3x 3 / x 2 = 3x
Bây giờ, thực hiện quá trình phân chia.
Bước 2: Bây giờ, để có được số hạng thứ hai của thương, hãy chia số hạng cao nhất của số bị chia mới, tức là –5x 2 cho số hạng cao nhất của số chia, tức là x 2 .
-5x 2 / x 2 = -5
Một lần nữa thực hiện quá trình chia với – 5x 2 – x + 5 (phần còn lại ở bước trước).
Bước 3: Phần còn lại có được từ bước trước là 9x + 10.
Bậc của 9x + 10 nhỏ hơn số bị chia x 2 + 2x + 1. Vì vậy, ta không thể tiếp tục phép chia nữa.
Thuật toán chia đa thức
Nếu p (x) và g (x) là hai đa thức bất kỳ với g (x) ≠ 0 thì ta có thể tìm được đa thức q (x) và r (x) sao cho
p (x) = g (x) × q (x) + r (x)
Đây,
r (x) = 0 hoặc độ r (x) <độ g (x)
Kết quả này được gọi là Thuật toán chia cho đa thức.
Từ ví dụ trước, chúng ta có thể xác minh thuật toán chia đa thức như sau:
p (x) = 3x 3 + x 2 + 2x + 5
g (x) = x 2 + 2x + 1
Ngoài ra, thương số = q (x) = 3x – 1
phần còn lại = r (x) = 9x + 10
Hiện nay,
g (x) × q (x) + r (x) = (x 2 + 2x + 1) × (3x – 5) + (9x + 10)
= 3x 3 + 6x 2 + 3x – 5x 2 – 10x – 5 + 9x + 10
= 3x 3 + x 2 + 2x + 5
= p (x)
Do đó, thuật toán phân chia được xác minh.
Câu hỏi về phép chia đa thức
- Nếu chia đa thức x 4 – 6x 3 + 16x 2 – 25x + 10 cho một đa thức khác x 2 – 2x + k thì được số dư là x + a, tìm k và a.
- Chia đa thức 2t 4 + 3t 3 – 2t 2 – 9t – 12 cho t 2 – 3.
- Tìm tất cả các số 0 của 2x 4 – 3x 3 – 3x 2 + 6x – 2, nếu hai số 0 của nó là √2 và −√2.
