- Tiếp tuyến của một đường tròn không thể được vẽ qua một điểm nằm bên trong đường tròn. Nó là như vậy bởi vì tất cả các đường thẳng đi qua bất kỳ điểm nào bên trong đường tròn sẽ cắt đường tròn tại hai điểm.
- Có đúng một tiếp tuyến của một đường tròn mà chỉ đi qua một điểm trên đường tròn.
- Có thể vẽ đúng hai tiếp tuyến với một đường tròn từ một điểm bên ngoài đường tròn.
Trong hình, P là một điểm bên ngoài mà từ đó các tiếp tuyến được vẽ với đường tròn. A và Blà các tiếp điểm của tiếp tuyến với đường tròn. Độ dài của tiếp tuyến bằng độ dài của đoạn thẳng có điểm cuối là điểm ngoài và tiếp điểm. Vì thế,PA và PB là độ dài của tiếp tuyến với đường tròn từ một điểm bên ngoài P.
Một số định lý về độ dài của tiếp tuyến
Định lý 1: Độ dài của các tiếp tuyến kẻ từ một điểm bên ngoài đến một đường tròn bằng nhau. Nó được chứng minh như sau:
Xét đường tròn có tâm O. PA và PB là hai tiếp tuyến được vẽ với đường tròn từ điểm bên ngoài P. O A và O B là bán kính của đường tròn.
Tiếp tuyến vuông góc với bán kính qua tiếp điểm.
∠ Pcác sự = ∠ PB O = 90 °
Hãy xem xét các hình tam giác, Δ Pcác sự và Δ PB O,
∠ Pcác sự = ∠ PB O = 90 °
PO là cạnh chung cho cả hình tam giác,
O A = O B [Bán kính của vòng tròn]
Do đó, theo định lý đồng dư RHS ,
Δ PA O ≅Δ PB O
⇒ PA = PB (Các phần tương ứng của tam giác đồng dư)
Điều này cũng có thể được chứng minh bằng cách sử dụng định lý Pythagoras như sau,
Từ,
∠ Pcác sự = ∠ PB O = 90 °
Δ Pcác sự và Δ PB O là những tam giác vuông cân.
PA2 = OP2– SựA2
Từ O A = O B,
PA2 = OP2– SựB2 = PB2
Điều này mang lại, PA = PB
Do đó, các tiếp tuyến vẽ một đường tròn từ một điểm bên ngoài có độ dài bằng nhau.
Có một quan sát quan trọng ở đây:
- Từ ∠ APO = ∠ BPO, O P là tia phân giác của ∠ APB.
Do đó, tâm của đường tròn nằm trên đường phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến với đường tròn từ một điểm bên ngoài.
Hãy xem xét một ví dụ để hiểu rõ hơn về khái niệm độ dài của các tiếp tuyến được vẽ với một đường tròn từ một điểm bên ngoài.
Ví dụ : Một đường tròn nội tiếp tứ giácA B CD, chứng minh rằng A B + CD = A D + B C.
Các tiếp tuyến được vẽ từ điểm A sẽ có độ dài bằng nhau.
Điều này mang lại,
A P = A M – (1)
Tương tự, đối với các tiếp tuyến được vẽ từ điểm B,
B N = B M – (2)
Các tiếp tuyến được vẽ từ điểm C,
CN = CO – (3)
Các tiếp tuyến được vẽ từ điểm D,
D P = D O -(4)
Thêm các phương trình (1), (2), (3) và (4),
A P+ B N+ CN+ D P = A M+ B M+ CO + D O
⇒ A P+ PD + B N+ NC = A M+ MB + D O + O C
⇒ A D + B C = A B + CD
Do đó đã chứng minh.
Xem thêm:
