Để bắt đầu với nó, chúng ta hãy xem phương pháp đầu tiên tức là kiểm tra đạo hàm đầu tiên . Phương pháp này dựa trên khái niệm cơ bản về hàm tăng và giảm.Từ định nghĩa của hàm, chúng ta có thể xác định các điểm tới hạn bằng f ‘= 0 . Nếu tại bất kỳ điểm nào trên đường cong mà x = a.f ‘(a) , hoặc không thể phân biệt được tại a, thì được gọi là điểm tới hạn. Nếu bạn có thể tìm ra nơi hàm đang tăng và giảm, chúng ta có thể biết liệu điểm tới hạn đã cho là cực đại hay cực tiểu cục bộ. Nhưng chờ đã, có một nắm bắt. Định nghĩa phép thử đạo hàm đầu tiên này chỉ đúng nếu hàm liên tục tại điểm x = a , nơi phép thử đang được áp dụng. Nếu nó không liên tục ở đó, thì bạn không thể áp dụng phương pháp này. Hãy để chúng tôi cố gắng hiểu điều này bằng một ví dụ.
Kiểm tra đạo hàm đầu tiên cho cực đại và cực tiểu
Hình 1: Đồ thị với mức tối thiểu cục bộ tại
Trong bộ lễ phục. 1, chúng ta có thể thấy điểm đóP, Ở đâu x = a ,f′( a ) = 0. Bạn quan sát thấy gì ở đây? Nếu bạn di chuyển về phía bên trái củaP , chức năng f đang giảm dần về bản chất và theo hướng vừa phải của P, nó đang gia tăng trong tự nhiên. Nói về mặt phái sinh, về phía bên trái củaP , f′( 0 ) < 0 và về phía bên phải của P,f′( 0 ). Đây là một quan sát quan trọng. Nếu chúng ta đi ngược lại với cuộc quan sát trước đó và thấy rằngf′< 0 a n d f′> 0 về phía bên trái và bên phải của điểm P, chúng tôi có thể kết luận điểm đó Plà mức tối thiểu cục bộ. Bây giờ, chúng ta có nghĩa là gì khi điểm “vừa phải” và “vừa phải”P? Khi chúng tôi nóif′( x ) > 0 về phía bên trái của điểm P, có nghĩa là có chiều rộng dương h và khoảng thời gian ( a – h , a )mà f′> 0. Tương tự, đối vớif′( x ) > 0 về phía bên phải của P có nghĩa là có chiều rộng dương kvà khoảng thời gian ( a , a + k ) mà f′> 0.
Chúng ta hãy giả sử một hàm có điểm tới hạn tạiP( x = a )và cũng liên tục lúc x = a. Do đó, chúng ta có thể kết luận bất cứ điều gì chúng ta đã thảo luận ở ba điểm:
- Nếu f′ là tiêu cực về phía bên trái của a và nó là tích cực đối với a , sau đó là điểmP( x = a )là mức tối thiểu cục bộ cho chức năng f.
- Nếu f′ là tích cực về phía bên trái của a và nó là tiêu cực đối với a , sau đó là điểm P( x = a ) là mức tối đa cục bộ cho hàm f .
- Nếu f′ có cùng dấu hiệu về phía bên trái và bên phải của a, sau đó là điểm P( x = a ) không phải là mức tối đa cục bộ cũng không phải là mức tối thiểu cục bộ cho hàm f.
Để tóm tắt những gì chúng ta đã học, chúng ta hãy đặt nó dưới dạng bảng.
Bảng 1: Các trường hợp khác nhau có thể xảy ra đối với phương pháp đạo hàm bậc nhất
| Biểu diễn hình ảnh của f ‘theo hướng trái và phải của điểm P (Trong mọi trường hợp, f’ (a) = 0) | Bản chất của f ‘ Hướng vừa trái | Hướng tới vừa phải | Cho dù cục bộ tối đa hay tối thiểu |
 |
Tiêu cực | Tích cực | Tối thiểu cục bộ |
 |
Tích cực | Tích cực | Cũng không |
 |
Tích cực | Tiêu cực | Tối đa địa phương |
Thí dụ
Chúng ta hãy lấy một ví dụ để hiểu ứng dụng của bài kiểm tra này. Chúng tôi sẽ cố gắng tìm ra tất cả các điểm tới hạn của hàm và cho biết chúng là cực đại cục bộ hay cực tiểu.
f( x ) = 0,2x5+ 1,25x4+ 2x3+20152016
Vì nó là một hàm đa thức nên nó vừa liên tục vừa có thể phân biệt trong toàn bộ miền của nó.
f( x ) = 0,2x5+ 1,25x4+ 2x3+20152016
Phân biệt cả hai bên wrt, chúng tôi nhận được:
f′( x ) =x4+ 5x3+ 6x2+ 0
f′( x ) =x2(x2+ 5 x + 6 )
f′( x ) =x2( x + 3 ) ( x + 2 )—————- (1)
Để nhận được các điểm tới hạn, chúng tôi tương đương với 0,
f′( x ) = 0
x2( x + 3 ) ( x + 2 ) = 0
x = 0 , – 2 , – 3
Vì vậy, các điểm tới hạn của chúng ta là 0, -2 và -3.
Từ phương trình 1,
f′( – 2,5 ) < 0 f′( – 1 ) > 0
Dấu của f ‘đang thay đổi từ âm sang dương khi chúng ta thay đổi từ trái sang phải. Điều này có nghĩa là đó là mức tối thiểu cục bộ.
f′( – 3.5 ) > 0
f′( – 2,5 ) < 0Dấu của f ‘đang thay đổi từ dương sang âm khi chúng ta thay đổi từ trái sang phải. Điều này có nghĩa là đó là mức tối đa cục bộ.f′( – 1 ) > 0
f′( 1 ) > 0
Dấu hiệu của f′không thay đổi vì chúng tôi thay đổi từ trái sang phải của. Điều này có nghĩa là đó không phải là mức tối đa cục bộ cũng không phải là mức tối thiểu cục bộ.
Vậy là xong! Đó là thử nghiệm đạo hàm đầu tiên. Nhưng hóa ra, bạn không thể áp dụng điều này cho mọi chức năng. Ví dụ:f( x ) =x2+ 12 giây tôi n x..
Xem thêm:
