• Phân phối theo cấp số nhân là gì?
• Công thức
• Trung bình và Phương sai
• Thuộc tính không nhớ
• Tổng của hai biến ngẫu nhiên theo cấp số nhân độc lập
• Biểu đồ phân phối hàm mũ
• Các ứng dụng
• Thí dụ
• Câu hỏi thường gặp

Phân phối theo cấp số nhân là gì?

Trong lý thuyết Xác suất và thống kê, phân phối mũ là phân phối xác suất liên tục thường liên quan đến lượng thời gian cho đến khi một sự kiện cụ thể nào đó xảy ra. Nó là một quá trình trong đó các sự kiện xảy ra liên tục và độc lập với tốc độ trung bình không đổi. Phân phối hàm mũ có thuộc tính quan trọng là không có bộ nhớ. Biến ngẫu nhiên hàm mũ có thể là nhiều giá trị nhỏ hơn hoặc ít biến lớn hơn. Ví dụ, số tiền khách hàng chi tiêu trong một lần đi siêu thị tuân theo phân phối theo cấp số nhân.

Công thức phân phối hàm mũ

Biến ngẫu nhiên liên tục, giả sử X được cho là có phân phối hàm mũ, nếu nó có hàm mật độ xác suất sau:

fX( x | λ ) = {λe– λ x0fo r x > 0 fo r x ≤ 0 

Ở đâu

λ được gọi là tỷ lệ phân phối.

Trung bình và phương sai của phân phối hàm mũ

Nghĩa là:

Giá trị trung bình của phân phối theo cấp số nhân được tính bằng cách sử dụng tích phân theo từng phần.

Trung bình = E [X] = ∫∞0x λe– λ xdx

= λ [∣∣– xe– λ xλ∣∣∞0+1λ∫∞0e– λ xdx ]

= λ[ 0 +1λ–e– λ xλ]∞0

= λ1λ2

=1λ

Do đó, giá trị trung bình của phân phối hàm mũ là 1 / λ.

Phương sai:

Để tìm phương sai của phân phối mũ, chúng ta cần tìm thời điểm thứ hai của phân phối mũ và nó được cho bởi:

E[X2] =∫∞0x2λe– λ x=2λ2

Do đó, phương sai của biến ngẫu nhiên liên tục, X được tính như sau:

Var (X) = E (X ² ) – E (X) ²

Bây giờ, thay giá trị của giá trị trung bình và thời điểm thứ hai của phân phối hàm mũ, chúng ta nhận được,

Var (X) =2λ2–1λ2=1λ2

Do đó, phương sai của phân phối hàm mũ là 1 / λ ² .

Thuộc tính không nhớ của phân phối theo cấp số nhân

Thuộc tính quan trọng nhất của phân phối hàm mũ là thuộc tính không nhớ. Tính chất này cũng có thể áp dụng cho phân bố hình học.

Biến ngẫu nhiên có phân phối theo cấp số nhân “X” tuân theo mối quan hệ:

P _r (X> s + t | X> s) = P _r (X> t), với mọi s, t ≥ 0

Bây giờ, chúng ta hãy xem xét hàm phân phối tích lũy bổ sung:

P _r (X> s + t | X> s)  =Pr( X> s + t ∩ X> s )Pr( X> s )

=Pr( X> s + t )Pr( X> s )

=e– λ ( s + t )e– λ s

= e ^-λt

= P _r (X> t)

Do đó, P _r (X> s + t | X> s) = P _r (X> t)

Thuộc tính này được gọi là thuộc tính không nhớ của phân phối hàm mũ, vì chúng ta không cần nhớ quá trình đã bắt đầu khi nào.

Tổng của hai biến ngẫu nhiên theo cấp số nhân độc lập

Hàm phân phối xác suất của hai biến ngẫu nhiên độc lập là tổng của các hàm phân phối xác suất riêng lẻ.

Nếu X ₁ và X ₂ là hai biến ngẫu nhiên hàm mũ độc lập tương ứng với các tham số tốc độ λ 1 và λ 2 , thì tổng của hai biến ngẫu nhiên hàm mũ độc lập được cho bởi Z = X ₁ + X ₂ .

fVỚIvới=∫∞– ∞fX1(x1)fX2( với–x1) dx1

=∫với0λ1e–λ1x1λ2e–λ2( với–x1)dx1

=λ1λ2e–λ2với∫với0e(λ2–λ1)x1dx1

= {λ1λ2λ2–λ1(e–λ1với–e–λ2với)λ2vớie– λ ztôi f λ1≠λ2tôi f λ1=λ2= λ

Biểu đồ phân phối hàm mũ

Đồ thị phân phối hàm mũ là đồ thị của hàm mật độ xác suất cho thấy sự phân bố của khoảng cách hoặc thời gian thực hiện giữa các sự kiện. Hai số hạng được sử dụng trong đồ thị phân phối hàm mũ là lambda ( λ ) và x. Ở đây, lambda đại diện cho các sự kiện trên một đơn vị thời gian và x đại diện cho thời gian. Đồ thị sau đây cho thấy các giá trị của λ = 1 và λ = 2.

Ứng dụng phân phối theo cấp số nhân

Một trong những phân phối liên tục được sử dụng rộng rãi là phân phối theo hàm mũ. Nó giúp xác định thời gian trôi qua giữa các sự kiện. Nó được sử dụng trong một loạt các ứng dụng như lý thuyết độ tin cậy, lý thuyết xếp hàng, vật lý, v.v. Một số trường được mô hình hóa bởi phân phối hàm mũ như sau:

• Phân phối theo cấp số nhân giúp tìm ra khoảng cách giữa các đột biến trên một sợi DNA
• Tính thời gian cho đến khi hạt phóng xạ phân rã.
• Giúp tìm chiều cao của các phân tử khác nhau trong một chất khí ở nhiệt độ và áp suất ổn định trong một trường hấp dẫn đồng nhất
• Giúp tính toán các giá trị cao nhất hàng tháng và hàng năm của lượng mưa thường xuyên và lưu lượng dòng chảy của sông

Vấn đề phân phối hàm mũ

Thí dụ:

Giả sử rằng, bạn thường nhận được 2 cuộc điện thoại mỗi giờ. tính xác suất để một cuộc điện thoại đến trong vòng một giờ tới.

Giải pháp:

Nó được cho rằng, 2 cuộc gọi điện thoại mỗi giờ. Vì vậy, sẽ có một cuộc điện thoại cứ sau nửa giờ. Vì vậy, chúng ta có thể lấy

λ = 0,5

Vì vậy, tính toán như sau:

p ( 0 ≤ X≤ 1 ) =∑1x = 00,5e– 0,5 x= 0,393469

Do đó, xác suất để các cuộc gọi đến trong giờ tiếp theo là 0,393469

Hãy theo dõi BYJU’S – Ứng dụng Học tập và tải xuống ứng dụng để học một cách dễ dàng bằng cách khám phá thêm các video liên quan đến Toán học.