Cổng Thông Tin Đại Học, Cao Đẳng Lớn Nhất Việt Nam

Phân từng phần là gì? Xem xong 5 phút hiểu luôn.

KHOA Y DƯỢC HÀ NỘI

Thẳng tiến vào đại học chỉ với: Điểm lớp 12 Từ 6,5 Điểm thi từ 18 năm 2021

Trong toán học, chúng ta có thể thấy nhiều biểu thức hữu tỉ phức tạp. Nếu chúng ta cố gắng giải các bài toán ở dạng phức tạp thì chúng ta sẽ mất rất nhiều thời gian để tìm ra lời giải. Để tránh sự phức tạp này, chúng ta phải tiếp tục bài toán bằng cách giảm dạng phức tạp của biểu thức hữu tỉ thành dạng đơn giản hơn. Phân thức từng phần là một trong những phương pháp dùng để phân tích các biểu thức hữu tỉ thành các phân số từng phần đơn giản hơn. Quá trình này hữu ích hơn trong quá trình tích hợp. Trong bài viết này, bạn sẽ tìm hiểu định nghĩa của phân số từng phần, phân tích từng phần, phân số từng phần của một phân số không đúng với các ví dụ được giải chi tiết.

Bội số của 5 

Định nghĩa phân số một phần

Một phân số đại số có thể được chia thành các phần đơn giản hơn được gọi là ” phân số từng phần “. Xét một phân số đại số, (3x + 5) / (2x 2 -5x-3). Biểu thức này có thể được chia thành dạng đơn giản như (2) / (x-3) – (1) / (2x + 1).

Các phần đơn giản hơn  [(2) / (x-3)] – [(1) / (2x + 1)]  được gọi là phân số từng phần.

Điều này có nghĩa rằng biểu thức đại số có thể được viết  trong hình thức như được đưa ra trong hình :

Phân từng phần

Lưu ý: Phép phân số từng phần chỉ có tác dụng đối với biểu thức hữu tỉ thích hợp (tử số nhỏ hơn mẫu số). Trong trường hợp, nếu biểu thức hữu tỉ ở trong biểu thức hữu tỉ không đúng (bậc của tử số lớn hơn bậc của mẫu số) thì trước hết hãy thực hiện phép chia để chuyển thành biểu thức hữu tỉ thích hợp. Điều này có thể đạt được với sự trợ giúp của  phương pháp chia dài đa thức .

Công thức phân số từng phần

Quy trình hoặc công thức tìm phân số từng phần được giải thích bằng các bước ở đây ::

Bước 1: Trong khi phân tích biểu thức hữu tỉ thành phân số từng phần, hãy bắt đầu với biểu thức hữu tỉ thích hợp.

Bước 2: Bây giờ, quy đồng mẫu số của biểu thức hữu tỉ thành nhân tử tuyến tính hoặc ở dạng nhân tử bậc hai bất khả quy (Lưu ý: Không nhân mẫu số thành số phức).

Bước 3: Viết ra phân số từng phần cho mỗi thừa số thu được, với các biến ở tử số là A và B.

Bước 4: Để tìm giá trị biến của A và B, hãy nhân toàn phương trình với mẫu số.

Bước 5: Giải các biến bằng cách thay số 0 vào biến nhân tố.

Bước 6: Cuối cùng, thay các giá trị của A và B vào các phân số từng phần .

Một phần các phân số từ các hàm hợp lý

Bất kỳ số nào có thể dễ dàng biểu diễn dưới dạng p / q, sao cho p và q là các số nguyên và q ≠ 0 được gọi là một số hữu tỉ. Tương tự, chúng ta có thể định nghĩa một hàm hữu tỉ là tỉ số của hai hàm đa thức P (x) và Q (x), trong đó P và Q là các đa thức theo x và Q (x) ≠ 0. Một hàm hữu tỉ được gọi là đúng nếu mức độ của P (x) nhỏ hơn mức độ của Q (x); nếu không, nó được gọi là một hàm hợp lý không phù hợp. Với sự trợ giúp của quá trình phân chia dài, chúng ta có thể giảm các chức năng hợp lý không phù hợp thành các chức năng hợp lý thích hợp. Do đó, nếu P (x) / Q (x) không đúng, thì nó có thể được biểu thị như sau:

P))+))

Ở đây, A (x) là một đa thức theo x và R (x) / Q (x) là một hàm hữu tỉ thích hợp.

Chúng ta biết rằng tích phân của một hàm f (x) được cho bởi F (x) và nó được biểu diễn bởi:

∫f (x) dx = F (x) + C

Ở đây RHS của phương trình có nghĩa là tích phân của f (x) đối với x và C là hằng số của tích phân .

Phân hủy từng phần

Để tích hợp một chức năng hợp lý, nó được rút gọn thành một chức năng hợp lý thích hợp. Phương pháp trong đó tích phân được biểu thị dưới dạng tổng của các hàm hữu tỉ đơn giản hơn được gọi là phân tích thành các phân số từng phần . Sau khi tách tích phân thành các phân số từng phần, nó được tích hợp tương ứng với sự trợ giúp của các kỹ thuật tích phân truyền thống. Đây là danh sách các công thức phân số từng phần được đưa ra.

S.Không Hàm hợp lý Chức năng một phần
1 q– – ) A– a+B– )
2 q– a)2 A1– a+A2– a)2
3 px2qr– – – ) A– a+B– )+C– )
4 px2qr– a)2– ) A1– a+A2– a)2+B– )
5 px2qr– (x2) A– a+Cx2c

Ở đây A, B và C là các số thực.

Một phần của phân số không đúng

Một phân số đại số là không đúng nếu tử số lớn hơn hoặc bằng mẫu số. Bậc là lũy thừa cao nhất của đa thức. Giả sử m là bậc của mẫu số và n là bậc của tử số. Khi đó, ngoài các phân số từng phần phát sinh từ các thừa số ở mẫu số, chúng ta phải thêm vào một số hạng bổ sung: số hạng bổ sung này là một đa thức bậc n – m.

Ghi chú: 

  • Đa thức có bậc 0 là K, trong đó K là hằng số
  • Đa thức bậc 1 là Px + Q
  • Đa thức bậc 2 là Px 2 + Qx + K

Ví dụ về tích hợp phân số từng phần

Chúng ta hãy xem xét một ví dụ để có cái nhìn sâu sắc hơn về tích hợp bằng cách sử dụng phân số từng phần.

Ví dụ: Tích hợp hàm 1– ) đối với x.

Giải: Tích phân đã cho có thể được biểu diễn dưới dạng phân số từng phần như sau:

1– )=A– )+B)

Để xác định giá trị của các hệ số thực A và B, phương trình trên được viết lại thành:

1 = A (x + 1) + B (x-3)

⇒1 = x (A + B) + A-3B

Bằng hệ số của x và hằng số, ta có

A + B = 0

A – 3B = 1

Giải các phương trình này đồng thời, giá trị của A = 1/4 và B = -1/4. Thay các giá trị này vào phương trình 1, chúng ta có

1– )=1– )+– 1)

Tích phân đối với x ta có;

1– )1– )– 1)

Theo các tính chất của tích phân, tích phân của tổng hai hàm bằng tổng tích phân của các hàm đã cho, tức là

∫ [f (x) + g (x)] dx = ∫f (x) dx + ∫g (x) dx

Vì thế,

=141– )141)

=14ln– 3 | 14ln1 |

=14ln– 31

Các ví dụ và giải pháp về phân số từng phần

Ví dụ 1: Viết phân thức từng phần của biểu thức sau.

(20x + 35) / (x + 4) 2

Giải pháp:

(20x + 35) / (x + 4) 2

(20x + 35) / (x + 4) 2 = [A / (x + 4)] + [B / (x + 4) 2 ]

(20x + 35) / (x + 4) 2 = [A (x + 4) + B] / (x + 4) 2

Bây giờ, cân bằng các tử số,

20x + 35 = A (x + 4) + B

20x + 35 = Ax + 4A + B

20x + 35 = Ax + (4A + B)

Bằng cách cân bằng các hệ số,

A = 20

4A + B = 35

4 (20) + B = 35

B = 35 – 80 = -45

Do đó, (20x + 35) / (x + 4) 2  = [20 / (x + 4)] – [45 / (x + 4) 2 ]

Ví dụ 2: Chia biểu thức đã cho thành các phân số từng phần.

(x 2  + 1) / (x 3  + 3x 2  + 3x + 2)

Giải pháp:

(x 2  + 1) / (x 3  + 3x 2  + 3x + 2)

Sử dụng định lý thừa số, x + 2 là nhân tử của x 3  + 3x 2  + 3x + 2.

Như vậy, x 3  + 3x 2  + 3x + 2 = (x + 2) (x 2  + x + 1)

Bây giờ, biểu thức đã cho có thể được viết dưới dạng:

(x 2  + 1) / (x 3  + 3x 2  + 3x + 2) = (x 2  + 1) / [(x + 2) (x 2  + x + 1)]

Bằng phương pháp phân hủy,

(x 2  + 1) / (x + 2) (x 2  + x + 1) = [A / (x + 2)] + [(Bx + C) / (x 2  + x + 1)]

(x 2  + 1) / (x + 2) (x + x + 1) = [A (x 2  + x + 1) + (Bx + C) (x + 2)] / [(x + 2) (x 2  + x + 1)]

= [(A + B) x 2  + (A + 2B + C) x + A + 2C] / [(x + 2) (x 2  + x + 1)]

Bằng các hệ số ở tử số của cả LHS và RHS,

A + B = 1

A + 2B + C = 0

A + 2C = 1

Giải các phương trình này,

A = 5/3, B = -2/3 và C = -1/3

(x 2  + 1) / (x + 2) (x 2  + x + 1) = [5/3 (x + 2)] – [(2x + 1) / 3 (x 2  + x + 1)]

Vấn đề thực hành

Đánh giá phần sau bằng cách sử dụng phương pháp từng phần phân số.

  1. x– )
  2. 9x2– 31)2– )
  3. x2– 1(x2– )

Câu hỏi thường gặp về phân số từng phần-Câu hỏi thường gặp

Phân số từng phần có nghĩa là gì?

Trong toán học, phn số từng phần được định nghĩa là quá trình phân tích một phân số thành dạng đơn giản nhất của phân số.

Viết quy trình phân tích từng phần.

Quy trình rút gọn phân số từng phần như sau:
Trong một biểu thức hữu tỉ đã cho, quy mẫu số thành các thừa số tuyến tính
Với mỗi thừa số thu được, hãy viết phân số từng phần với các biến ở tử số, giả sử x và y
Để loại bỏ phân số, nhân toàn bộ phương trình theo mẫu số.
Bây giờ, hãy giải các hằng số x và y
Thay các giá trị hằng số vào tử số của phân số riêng, và bạn sẽ nhận được lời giải.

Các loại mẫu số khác nhau trong phân số từng phần là gì?

Bốn loại mẫu số khác nhau được tìm thấy trong phân số từng phần là:
Yếu tố
tuyến tính Yếu tố tuyến tính lặp lại Yếu
tố
bất khả quy bậc 2 Hệ số bất khả quy bậc 2

Công dụng của phép phân tích từng phần là gì?

Phân rã từng phần được sử dụng để tìm phép biến đổi Laplace ngược, và nó cũng giúp tích hợp các hàm hợp lý.

Biểu thức hợp lý đúng và không hợp có nghĩa là gì?

Trong biểu thức hữu tỉ thích hợp, bậc của tử số nhỏ hơn bậc của mẫu số. Trong khi đó trong biểu thức hữu tỉ không đúng, bậc của tử số lớn hơn bậc của mẫu số.

0 0 votes
Article Rating
Theo dõi
Thông báo của
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Khoa Y Dược Hà Nội tuyển sinh chính quy

GIẢI TOÁN ONLINE SIÊU NHANH VÀ CHÍNH XÁC NHẤT

Bài viết mới nhất

Thi trắc nghiệm online
0
Would love your thoughts, please comment.x
()
x