Phép nhân ma trận là gì? Xem xong 5 phút hiểu luôn.

Định nghĩa phép nhân ma trận

Phép nhân ma trận, còn được gọi là tích ma trận và phép nhân hai ma trận, tạo ra một ma trận duy nhất. Nó là một loại hoạt động nhị phân .

Nếu A và B là hai ma trận thì tích của hai ma trận A và B được ký hiệu là:

X = AB

Do đó, tích của hai ma trận là tích chấm của hai ma trận.

Phép nhân ma trận bằng Vô hướng

Phép nhân một số nguyên với một ma trận chỉ đơn giản là một phép nhân vô hướng .

Chúng ta biết rằng ma trận là một mảng số. Nó bao gồm các hàng và cột. Nếu bạn nhân một ma trận với một giá trị vô hướng, thì nó được gọi là phép nhân vô hướng. Một trường hợp khác là có thể nhân một ma trận với một ma trận khác. Hãy cùng xem ví dụ dưới đây.

Chúng ta có thể định nghĩa phép nhân ma trận với một đại lượng vô hướng về mặt toán học là:

Nếu A = [a _ij ] _{m × n} là một ma trận và k là một vô hướng, thì kA là một ma trận khác thu được bằng cách nhân từng phần tử của A với k vô hướng.

Nói cách khác, kA = k [a _ij ] _{m × n}  = [k (a _ij )] _{m × n} , nghĩa là, phần tử thứ (i, j) của kA là ka _ij  với tất cả các giá trị có thể có của i và j.

Ví dụ: Nhân ma trậnA = [3049– 15] bằng 4.

Giải pháp:

Được,

A = [3049– 15]

4 × A = 4 × [3049– 15]

Bây giờ, chúng ta phải nhân từng phần tử của ma trận A với 4.

= [1201636– 420]

Đây là ma trận bắt buộc sau khi nhân ma trận đã cho với giá trị hằng số hoặc vô hướng, tức là 4.

Điều kiện nhân ma trận

Để thực hiện phép nhân hai ma trận , chúng ta nên đảm bảo rằng số cột trong ma trận thứ nhất bằng số hàng trong ma trận thứ hai. Do đó, sản phẩm của ma trận thu được sẽ có một số hàng của ma trận thứ nhất và một số cột của ma trận thứ hai. Bậc của ma trận kết quả là bậc nhân ma trận .

Bây giờ, chúng ta hãy hiểu cách thực hiện phép nhân ma trận với các thứ tự khác nhau hoặc các loại ma trận khác nhau .

Làm thế nào để Nhân ma trận?

Chúng ta hãy học cách nhân ma trận.

Xét ma trận A là ma trận a × b và ma trận B là ma trận ab × c.

Khi đó, ma trận C = AB được định nghĩa là ma trận A × B.

Một phần tử trong ma trận C, C _xy  được xác định là C _xy = A _x1 B _y1  +… .. + A _xb B _bởi  =  ∑bk = 1  A _xk B _ky   cho x = 1 …… a và y = 1 …… .c

Đây là một trong những chuyên đề quan trọng nhất lớp 12. Bài giải ma trận lớp 12 giải chi tiết các dạng của ma trận.

Ký hiệu

Nếu A là ma trận am × n và B là ma trận ap × q, thì tích ma trận của A và B được biểu diễn bằng:

X = AB

Trong đó X là ma trận kết quả có kích thước m × q.

Công thức nhân ma trận

Hãy lấy một ví dụ để hiểu công thức này.

Giả sử A và B là hai ma trận, sao cho

A =⎡⎣⎢⎢⎢A11A21Am 1A12A22… … … … .Am 2⋯⋯⋯A1 nA2 nAm n⎤⎦⎥⎥⎥,   B =⎡⎣⎢⎢⎢B11B21Bm 1B12B22… … … … .Bm 2⋯⋯⋯B1 nB2 nBm n⎤⎦⎥⎥⎥Khi đó Ma trận C = AB được ký hiệu là

C = ⎡⎣⎢⎢⎢C11C12… … .C1 cC21C22… … .C2 c… … … … …Cmột 1Cmột 2… … .Cmột c⎤⎦⎥⎥⎥

Một phần tử trong ma trận C trong đó C là phép nhân của Ma trận AX B.

C = C _xy  = A _x1 B _y1  +… .. + A _xb B _bởi  =  ∑bk = 1  A _xk B _ky   cho x = 1 …… a và y = 1 …… .c

Thuật toán cho phép nhân ma trận

Trong những năm gần đây đã có rất nhiều công trình nghiên cứu trong lĩnh vực thuật toán nhân ma trận vì nó đã được tìm thấy ứng dụng của nó trong nhiều lĩnh vực. Có bốn loại thuật toán:

• Thuật toán lặp lại
• Thuật toán phân chia và chinh phục
• Thuật toán khối con
• Thuật toán song song và phân tán

Điều này chủ yếu được sử dụng trong các ngôn ngữ lập trình khác nhau như C, Java, v.v., để nhân trực tuyến. Phổ biến nhất là 2 × 2, 3 × 3 và 4 × 4, phép nhân ma trận.

Phép toán là nhị phân với các mục trong một tập hợp các phép toán cộng, trừ, nhân và chia được xác định. Các phép toán này giống như các phép toán tương ứng trên số thực và số hữu tỉ.

Mặc dù có nhiều ứng dụng của ma trận nhưng về cơ bản, phép nhân ma trận là một phép toán trong đại số tuyến tính. Ánh xạ tuyến tính, bao gồm phép cộng và phép nhân vô hướng, được biểu diễn bằng phép nhân ma trận.

Người ta cũng có thể tìm thấy một loạt các thuật toán trên các mắt lưới. Loại thuật toán này được thiết kế để giảm thiểu tính kém hiệu quả vốn có của các thuật toán mảng tiêu chuẩn, nơi có thể có độ trễ khi dữ liệu đến từ 2 ma trận khác nhau.

Quy tắc nhân ma trận

Từ công thức và quy trình đã xác định ở trên, chúng ta có thể viết các quy tắc và tính chất sau cho phép nhân ma trận.

• Tích của hai ma trận A và B được xác định nếu số cột của A bằng số hàng của B.
• Nếu AB được xác định, thì BA không cần được xác định
• Nếu cả A và B đều là ma trận vuông cùng bậc thì cả AB và BA đều được xác định.
• Nếu AB và BA đều xác định thì không cần AB = BA.
• Nếu tích của hai ma trận là ma trận 0, thì không nhất thiết một trong hai ma trận là ma trận 0.

Phép nhân ma trận 2 × 2

Hãy xem xét một phép nhân ma trận 2 × 2 đơn giản A = [3479] và một ma trận khác B = [652số 8]

Bây giờ mỗi phần tử của ma trận tích AB có thể được tính như sau:

• AB ₁₁ = 3 × 6 + 7 × 5 = 53
• AB ₁₂ = 3 x 2 + 7 x 8 = 62
• AB ₂₁ = 4 × 6 + 9 × 5 = 69
• AB ₂₂ = 4 x 2 + 9 x 8 = 80

Do đó ma trận AB = [53696280]

Phép nhân ma trận 3 × 3

Để hiểu phép nhân hai ma trận 3 × 3, chúng ta hãy xét hai ma trận 3 × 3 A và B.

Ma trận A = ⎡⎣⎢1239số 817số 841410⎤⎦⎥, Ma trận B = ⎡⎣⎢5671915số 83916⎤⎦⎥

Mỗi phần tử của ma trận sản phẩm AB có thể được tính như sau:

• AB ₁₁ = 12 × 5 + 8 × 6 + 4 × 7 = 136
• AB ₁₂  = 12 x 19 + 8 x 15 + 4 x 8 = 380
• AB ₁₃  = 12 x 3 + 8 x 9 + 4 x 16 = 172
• AB ₂₁  = 3 × 5 + 17 × 6 + 14 × 7 = 215
• AB ₂₂  = 3 x 19 + 17 x 15 + 14 x 8 = 424
• AB ₂₃ = 3 x 3 + 17 x 9 + 14 x 16 = 386
• AB ₃₁ = 9 x 5 + 8 x 6 + 10 x 7 = 163
• AB ₃₂  = 9 x 19 + 8 x 15 + 10 x 8 = 371
• AB ₃₃  = 9 x 3 + 8 x 9 + 10 x 16 = 259

Do đó, ma trận AB = ⎡⎣⎢136215163380424371172386259⎤⎦⎥

Các thuộc tính của phép nhân ma trận

Sau đây là các tính chất của phép nhân ma trận:

Tính chất giao hoán

Phép nhân ma trận không có tính chất giao hoán.

Giả sử rằng, nếu A và B là hai ma trận 2 × 2,

AB ≠  BA

Trong phép nhân ma trận, thứ tự quan trọng rất nhiều.

Ví dụ,

Nếu A = [1324] và B = [3124] là hai ma trận, sau đó

A × B = [1324] × [3124]

A × B = [5131022]

Nhưng,

B × A = [3124] × [1324]

B × A = [9131418]

Điều này cho thấy ma trận AB ≠ BA.

Do đó, phép nhân hai ma trận không có tính chất giao hoán.

Bất động sản kết hợp

Nếu A, B và C là ba ma trận, thì thuộc tính kết hợp của phép nhân ma trận cho biết rằng,

(AB) C = A (BC)

Để cho  A = [1121]

B = [3122]

C= [0213]

LHS = (AB) C

A × B = [1121] × [3122]

A × B = [5464]

( A B ) C= [5464] × [0213]

( A B ) C= [12số 82316]

RHS = A (BC)

B C= [3122] × [0213]

B C= [4497]

A ( B C) = [1121] × [4497]

A ( B C) = [12số 82316]

Do đó, tính chất kết hợp của phép nhân ma trận được chứng minh.

Thuộc tính phân tán

Nếu A, B và C là ba ma trận, thuộc tính phân phối của phép nhân ma trận nói rằng,

• (B + C) A = BA + CA
• A (B + C) = AB + AC

Thuộc tính nhận dạng đa nhân

Thuộc tính nhận dạng của phép nhân ma trận nói rằng,

1. I = I. A = A

Trong đó A là ma trận n × n và “I” là ma trận nhận dạng bậc n.

Để cho A = [2136] và Tôi= [1001]

Một . Tôi= [2136] × [1001]

Một . Tôi= [2136] =A

Thuộc tính thứ nguyên

Trong phép nhân ma trận, tích của ma trận m × n và n × a là ma trận m × a.

Ví dụ, ma trận A là ma trận 2 × 3 và ma trận B là ma trận 3 × 4, thì AB là ma trận 2 × 4.

Thuộc tính nhân của số không

Nếu một ma trận được nhân với ma trận không, thì ma trận kết quả là ma trận không.

Nếu A = [2112] được nhân với ma trận 0 (tức là,)[0000], sản phẩm trở thành [0000]

Ví dụ đã giải quyết

Phép nhân ma trận 4 × 4 được giải thích dưới đây với hai ma trận 4 × 4 A và B.

A = ⎡⎣⎢⎢⎢74141314số 82171512666394⎤⎦⎥⎥⎥, B = ⎡⎣⎢⎢⎢5số 813671663144số 822944⎤⎦⎥⎥⎥

Thực hiện các bước tương tự như trong 2 ví dụ trước, chúng ta có thể xây dựng một ma trận AB.

AB = ⎡⎣⎢⎢⎢378258370223381237497251286190346266224140277129⎤⎦⎥⎥⎥

Các vấn đề thực hành về phép nhân ma trận

Giải quyết các vấn đề sau:

1. Tìm sản phẩm: 3 [7251]
2. Đơn giản hóa ma trận 3 × 3 sau: ⎡⎣⎢121631215⎤⎦⎥×⎡⎣⎢142số 826731⎤⎦⎥
3. Tìm tích của AB, nếu A = [5931] và B = [16012]
4. Tìm tích của ma trận, nếu A =⎡⎣⎢421⎤⎦⎥ và [246]
5. Tính toán: – 47⎡⎣⎢– 224935⎤⎦⎥

Tìm hiểu thêm về Ma trận và các chủ đề liên quan khác một cách vui vẻ và thú vị. Tải xuống BYJU’S – Ứng dụng Học tập ngay hôm nay.