Phương trình vi phân từng phần là gì? Xem xong 5 phút hiểu luôn.

Định nghĩa phương trình vi phân từng phần

Một phần Differential Equation thường ký hiệu là PDE là một phương trình vi phân có chứa hàm riêng của biến phụ thuộc (một hoặc nhiều) với nhiều hơn một biến độc lập. PDE cho một hàm u (x ₁ , …… x _n ) là một phương trình có dạng

PDE được cho là tuyến tính nếu f là một hàm tuyến tính của u và các đạo hàm của nó. PDE đơn giản được đưa ra bởi;

∂u / ∂x (x, y) = 0 

Quan hệ trên ngụ ý rằng hàm u (x, y) độc lập với x là dạng rút gọn của công thức phương trình đạo hàm riêng đã nêu ở trên. Bậc của PDE là bậc của số hạng đạo hàm cao nhất của phương trình.

Làm thế nào để biểu diễn phương trình vi phân từng phần?

Trong PDE, chúng tôi biểu thị các đạo hàm riêng bằng cách sử dụng các chỉ số con, chẳng hạn như;

Trong một số trường hợp, giống như trong Vật lý khi chúng ta học về phương trình sóng hoặc phương trình âm thanh, đạo hàm riêng, ∂ cũng được biểu diễn bằng ∇ (del hoặc nabla).

Diện tích tam giác đều

Phân loại phương trình vi phân từng phần

Mỗi loại PDE có một số chức năng nhất định giúp xác định liệu một cách tiếp cận phần tử hữu hạn cụ thể có phù hợp với vấn đề được PDE mô tả hay không. Lời giải phụ thuộc vào phương trình và một số biến chứa các đạo hàm riêng đối với các biến. Có ba loại PDE bậc hai trong cơ học. họ đang

• Elliptic PDE
• PDE parabol
• PDE hyperbolic

Xét ví dụ, au _xx + bu _yy + cu _yy = 0, u = u (x, y). Đối với một điểm đã cho (x, y), phương trình được cho là  Elliptic nếu b ² -ac <0 được sử dụng để mô tả phương trình đàn hồi mà không có thuật ngữ quán tính. Các PDE hyperbolic mô tả các hiện tượng truyền sóng nếu nó thỏa mãn điều kiện b ² -ac> 0. Đối với PDE dạng parabol , cần thỏa mãn điều kiện b ² -ac = 0. Phương trình dẫn nhiệt là một ví dụ của PDE hình parabol.

Các loại phương trình vi phân từng phần

Các dạng khác nhau của phương trình đạo hàm riêng là:

• Phương trình vi phân từng phần bậc nhất
• Phương trình vi phân từng phần tuyến tính
• Phương trình vi phân từng phần gần như tuyến tính
• Phương trình vi phân từng phần đồng nhất

Hãy để chúng tôi thảo luận về các loại PDE này ở đây.

Phương trình vi phân từng phần bậc nhất

Trong Toán học, khi chúng ta nói về phương trình đạo hàm riêng cấp một , thì phương trình chỉ có đạo hàm cấp một của hàm chưa biết có biến ‘m’. Nó được thể hiện dưới dạng;

F (x ₁ ,…, x _m , u, u _x1 ,…., U _xm ) = 0

Phương trình vi phân từng phần tuyến tính

Nếu biến phụ thuộc và tất cả các đạo hàm riêng của nó xảy ra tuyến tính trong bất kỳ PDE nào thì một phương trình như vậy được gọi là PDE tuyến tính, ngược lại là PDE phi tuyến. Trong ví dụ trên (1) và (2) được cho là phương trình tuyến tính trong khi ví dụ (3) và (4) được cho là phương trình phi tuyến tính.

Phương trình vi phân từng phần gần như tuyến tính

PDE được cho là bán tuyến tính nếu tất cả các số hạng có đạo hàm bậc cao nhất của các biến phụ thuộc xảy ra tuyến tính, tức là hệ số của các số hạng đó là hàm của chỉ đạo hàm bậc thấp của các biến phụ thuộc. Tuy nhiên, các điều khoản với các phái sinh bậc thấp hơn có thể xảy ra theo bất kỳ cách nào. Ví dụ (3) trong danh sách trên là một phương trình Quasi-tuyến tính.

Phương trình vi phân từng phần đồng nhất

Nếu tất cả các số hạng của một PDE chứa biến phụ thuộc hoặc các đạo hàm riêng của nó thì PDE đó được gọi là phương trình vi phân riêng không thuần nhất hoặc thuần nhất theo cách khác. Trong bốn ví dụ trên, Ví dụ (4) là không thuần nhất trong khi ba phương trình đầu tiên là thuần nhất.

Ví dụ về phương trình vi phân từng phần

Một số ví dụ tuân theo PDE bậc hai được đưa ra như

Bài toán về phương trình vi phân từng phần

Câu hỏi:

Chứng tỏ rằng nếu a là một hằng số, thì u (x, t) = sin (at) cos (x) là một nghiệm của ∂2u∂t2=a2∂2u∂x2.

Giải pháp

Vì a là một hằng số, các phần tử đối với t là

∂u∂t= a cos( a t ) cos( x ) ;
∂2u∂t2= –a2không có( a t ) cos( x )Hơn nữa, u _x = – sin (at) sin (x) và u _xx = – sin (at) cos (x), do đó

a2∂2u∂x2= –a2không có( a t ) cos( x )Do đó, u (x, t) = sin (at) cos (x) là một nghiệm cho ∂2u∂t2=a2∂2u∂x2.

Do đó đã chứng minh.