Việc tính toán dựa trên những con số này hơi phức tạp. Ví dụ, √5, √11, √21, v.v., là không hợp lý. Nếu những con số như vậy được sử dụng trong các phép toán số học , thì trước tiên chúng ta cần đánh giá các giá trị dưới gốc. Những giá trị này đôi khi cũng có thể lặp lại. Bây giờ chúng ta hãy tìm hiểu định nghĩa của nó, danh sách các số vô tỉ, cách tìm chúng, v.v., trong bài viết này.
Định nghĩa số vô tỉ
Một số vô tỷ là một số thực không thể được biểu diễn dưới dạng tỷ số của các số nguyên, ví dụ: √ 2 là một số vô tỷ. Một lần nữa, khai triển thập phân của một số vô tỉ không kết thúc cũng không lặp lại .
Ý nghĩa phi lý: Ý nghĩa của vô tỷ là không có một tỷ lệ hoặc không có tỷ lệ nào có thể được viết cho số đó. Điều đó có nghĩa là con số không thể được biểu thị khác hơn là bằng các gốc. Nói cách khác, chúng ta có thể nói rằng số vô tỷ không thể được biểu diễn dưới dạng tỷ số của hai số nguyên.
Làm thế nào để bạn biết một số là vô tỷ?
Các số thực không thể biểu diễn dưới dạng p / q, trong đó p và q là các số nguyên và q ≠ 0 được gọi là số vô tỉ. Ví dụ √ 2 và √ 3, v.v. là vô tỷ. Trong khi bất kỳ số nào có thể được biểu diễn dưới dạng p / q, sao cho p và q là các số nguyên và q ≠ 0 được gọi là một số hữu tỉ.
Pi có phải là số vô tỉ không?
Pi (π) là một số vô tỉ vì nó không tận cùng. Giá trị gần đúng của số pi là 22/7. Ngoài ra, giá trị của π là 3,14159 26535 89793 23846 264…
Biểu tượng
Nói chung, ký hiệu được sử dụng để biểu thị biểu tượng phi lý là “P”. Vì các số vô tỉ được xác định một cách âm, nên tập hợp các số thực (R) không phải là số hữu tỉ (Q), được gọi là một số vô tỉ. Kí hiệu P thường được sử dụng vì liên kết với số thực và số hữu tỉ. (tức là) do dãy chữ cái P, Q, R. Nhưng chủ yếu, nó được biểu diễn bằng cách sử dụng hiệu số tập hợp của các số hữu tỉ thực trừ, theo cách R-Q hoặc R \ Q.
Tính chất
Vì số vô tỷ là tập con của các số thực nên các số vô tỷ sẽ tuân theo tất cả các thuộc tính của hệ số thực. Sau đây là các tính chất của số vô tỉ:
- Phép cộng một số vô tỉ và một số hữu tỉ sẽ cho một số vô tỉ. Ví dụ, chúng ta hãy giả sử rằng x là một số vô tỉ, y là một số hữu tỉ và phép cộng cả hai số x + y sẽ cho một số hữu tỉ z.
- Phép nhân bất kỳ số vô tỷ nào với bất kỳ số hữu tỷ nào khác không đều cho kết quả là một số vô tỷ. Giả sử rằng nếu xy = z là hữu tỉ thì x = z / y là hữu tỉ, mâu thuẫn với giả thiết rằng x là vô tỉ. Như vậy, tích xy phải là tích số vô tỷ.
- Bội số chung nhỏ nhất (LCM) của hai số vô tỉ bất kỳ có thể tồn tại hoặc không.
- Phép cộng hoặc phép nhân hai số vô tỉ có thể là số hữu tỉ; ví dụ, √2. √2 = 2. Ở đây, √2 là một số vô tỉ. Nếu nhân nó lên hai lần thì tích cuối cùng thu được là một số hữu tỉ. (tức là) 2.
- Tập hợp các số vô tỉ không đóng trong quá trình nhân, không giống như tập hợp các số hữu tỉ.
Danh sách các con số không hợp lý
Các số vô tỉ nổi tiếng bao gồm số Pi, số Euler, tỷ lệ vàng. Nhiều căn bậc hai và số căn bậc hai cũng là số vô tỉ, nhưng không phải tất cả chúng. Ví dụ, √3 là một số vô tỉ nhưng √4 là một số hữu tỉ. Vì 4 là một hình vuông hoàn hảo, chẳng hạn như 4 = 2 x 2 và √4 = 2, là một số hữu tỉ. Cần lưu ý rằng giữa hai số thực bất kỳ luôn tồn tại số vô tỉ. Ví dụ, giả sử 1 và 2, có vô hạn số vô tỉ giữa 1 và 2. Bây giờ, chúng ta hãy xem xét các giá trị của các số vô tỉ nổi tiếng.
| Pi, π | 3,14159265358979… |
| Số của Euler, e | 2.71828182845904… |
| Tỷ lệ vàng, φ | 1.61803398874989…. |
Những con số vô tỉ có phải là những con số có thật không?
Trong Toán học, tất cả các số vô tỉ được coi là số thực, không nên là số hữu tỉ. Có nghĩa là số vô tỉ không thể được biểu thị bằng tỉ số của hai số. Số vô tỉ có thể được biểu diễn dưới dạng phân số không tận cùng và theo nhiều cách khác nhau. Ví dụ, các căn bậc hai không phải là các bình phương hoàn hảo sẽ luôn dẫn đến một số vô tỉ.
Tổng và tích của hai số vô tỉ
Bây giờ, chúng ta hãy thảo luận về tổng và tích của các số vô tỉ.
Tích của hai số vô tỉ
Phát biểu: Tích của hai số vô tỉ đôi khi là số hữu tỉ hoặc số vô tỉ
Ví dụ, √2 là một số vô tỉ, nhưng khi √2 nhân với √2, ta nhận được kết quả là 2, là một số hữu tỉ.
(tức là) √2 x √2 = 2
Chúng ta biết rằng π cũng là một số vô tỉ, nhưng nếu nhân π với π thì kết quả là π 2 , cũng là một số vô tỉ.
(tức là.) π x π = π 2
Cần lưu ý rằng trong khi nhân hai số vô tỉ, nó có thể được một số vô tỉ hoặc một số hữu tỉ.
Tổng của hai số vô tỉ
Phát biểu: Tổng của hai số vô tỉ đôi khi là số hữu tỉ hoặc số vô tỉ.
Giống như tích của hai số vô tỉ, tổng của hai số vô tỉ cũng sẽ cho ra một số hữu tỉ hoặc vô tỉ.
Ví dụ, nếu chúng ta cộng hai số vô tỉ, giả sử 3 √2 + 4√3, một tổng là một số vô tỉ.
Nhưng, chúng ta hãy xem xét một ví dụ khác, (3 + 4√2) + (-4√2), tổng là 3, là một số hữu tỉ.
Vì vậy, chúng ta nên rất cẩn thận khi cộng và nhân hai số vô tỉ, vì nó có thể dẫn đến một số vô tỉ hoặc một số hữu tỉ.
Chứng minh số vô tỉ
Định lý sau được sử dụng để chứng minh nhận định trên
Định lý : Cho p là số nguyên tố và a 2 chia hết cho p (với a là một số nguyên dương bất kỳ) thì có thể kết luận rằng p cũng chia hết a .
Chứng minh: Sử dụng Định lý Cơ bản của Số học, số nguyên dương có thể được biểu diễn dưới dạng tích các số nguyên tố của nó là:
a = p 1 × p 2 × p 3 ……… .. × p n… .. (1)
Trong đó, p 1, p 2 , p 3 , ……, p n đại diện cho tất cả các thừa số nguyên tố của a .
Bình phương cả hai vế của phương trình (1),
a 2 = (p 1 × p 2 × p 3 ……… .. × p n) ( p 1 × p 2 × p 3 ……… .. × p n )
⇒a 2 = (p 1 ) 2 × (p 2 ) 2 × ( p 3 ) 2 ……… .. × (p n ) 2
Theo Định lý Cơ bản của Số học , phân tích nguyên tố của một số tự nhiên là duy nhất, ngoại trừ thứ tự của các thừa số của nó.
Các thừa số nguyên tố duy nhất của a 2 là p 1 , p 2, p 3 ……… .., p n . Nếu p là số nguyên tố và thừa số a 2 thì p là một trong các p 1 , p 2, p 3 ……… .., p n . Vì vậy, p cũng sẽ là một thừa số của a .
Do đó, nếu a 2 chia hết cho p thì p cũng chia hết a .
Bây giờ, sử dụng định lý này, chúng ta có thể chứng minh rằng √ 2 là vô tỷ.
Làm thế nào để tìm một số vô tỉ?
Hãy tìm các số vô tỉ giữa 2 và 3.
Ta biết, căn bậc hai của 4 là 2; √4 = 2
và căn bậc hai của 9 là 3; √9 = 3
Do đó, số vô tỉ giữa 2 và 3 là √ 5, √ 6, √ 7 và √ 8, vì đây không phải là những hình vuông hoàn hảo và không thể đơn giản hóa thêm. Tương tự, bạn cũng có thể tìm các số vô tỉ, giữa bất kỳ hai số bình phương hoàn hảo nào khác.
Một trường hợp khác:
Giả sử trong trường hợp √ 2. Bây giờ, làm thế nào để tìm √ 2 là số vô tỉ?
Giả sử, √ 2 là một số hữu tỉ. Sau đó, theo định nghĩa của số hữu tỉ, có thể viết rằng,
√ 2 = p / q …… (1).
Trong đó p và q là các số nguyên đồng nguyên và q ≠ 0 (Các số đồng nguyên tố là những số có nhân tử chung là 1).
Bình phương cả hai vế của phương trình (1), ta có
2 = p 2 / q 2
⇒ p 2 = 2 q 2 ………. (2)
Từ định lý nêu trên, nếu 2 là một thừa số nguyên tố của p 2 thì 2 cũng là một thừa số nguyên tố của p .
Vì vậy, p = 2 × c , với c là một số nguyên.
Thay giá trị này của p vào phương trình (3), ta có
(2c) 2 = 2 q 2
⇒ q 2 = 2c 2
Điều này ngụ ý rằng 2 cũng là một thừa số nguyên tố của q 2 . Một lần nữa từ định lý, có thể nói rằng 2 cũng là một thừa số nguyên tố của q .
Theo giả thiết ban đầu , p và q là đồng nguyên tố nhưng kết quả thu được ở trên mâu thuẫn với giả thiết này vì p và q có 2 là thừa số nguyên tố chung khác 1. Mâu thuẫn này nảy sinh do giả thiết sai rằng √ 2 là hữu tỉ.
Vì vậy, căn 2 là không hợp lý.
Tương tự, chúng ta có thể biện minh cho phát biểu đã thảo luận ở phần đầu rằng nếu p là số nguyên tố thì √ p là số vô tỉ. Tương tự, có thể chứng minh rằng với mọi số nguyên tố p , √ p là vô tỉ.
Các vấn đề và giải pháp
Câu 1 : Số nào sau đây là Số hữu tỉ hay Số vô tỉ?
2, -.45678…, 6,5, √ 3, √ 2
Lời giải : Số hữu tỉ – 2, 6,5 vì chúng có số thập phân tận cùng.
Số vô tỉ – -.45678…, √ 3, √ 2 vì chúng có khai triển thập phân không kết thúc không lặp lại.
Câu hỏi 2: Kiểm tra xem các số dưới đây là số hữu tỉ hay vô tỉ.
2, 5/11, -5,12, 0,31
Giải: Vì khai triển thập phân của một số hữu tỉ kết thúc hoặc lặp lại. Vì vậy, 2, 5/11, -5,12, 0,31 đều là số hữu tỉ.
Để biết thêm về số hữu tỉ và số vô tỉ, hãy tải BYJU’S-The Learning App hoặc Đăng ký với chúng tôi để xem những video thú vị về số vô tỉ.
Câu hỏi thường gặp – Câu hỏi thường gặp
Số vô tỉ là gì? Cho một ví dụ.
Ví dụ: √2, √3, √5, √11, √21, π (Pi) là tất cả đều phi lý.
Số nguyên có phải là số vô tỉ không?
Ví dụ: 2, 3 và 5 là các số hữu tỉ vì chúng ta có thể biểu diễn chúng dưới dạng 2/1, 3/1 và 5/1.
Một số vô tỉ có phải là một số thực không?
Năm ví dụ về số vô tỉ là gì?
√8, √11, √50, Số Euler e = 2.718281, Tỷ lệ vàng, φ = 1.618034.
Các số vô tỉ chính là gì?
Pi (π) = 22/7 = 3,14159265358979…
Số Euler’s, e = 2,71828182845904…
Tỷ lệ vàng, φ = 1,61803398874989….
Gốc, √ = √2, √3, √5, √7, √8, bất kỳ số nào dưới gốc không thể đơn giản hóa thêm.
