Contents
Định nghĩa tích phân xác định
Nếu một tích phân có giới hạn trên và giới hạn dưới, nó được gọi là Tích phân xác định. Có nhiều công thức và tính chất tích phân xác định. Tích phân xác định là hiệu giữa các giá trị của tích phân ở giới hạn trên và giới hạn dưới xác định của biến độc lập. Nó được đại diện là;
∫ a b f (x) dx
Thuộc tính tích phân xác định
Dưới đây là danh sách các tích phân xác định dưới dạng bảng rất dễ đọc và dễ hiểu.
Tính chất | Sự miêu tả |
Thuộc tính 1 | p ∫ q f (a) da = p ∫ q f (t) dt |
Thuộc tính 2 | p ∫ q f (a) d (a) = – q ∫ p f (a) d (a), Ngoài ra p ∫ p f (a) d (a) = 0 |
Thuộc tính 3 | p ∫ q f (a) d (a) = p ∫ r f (a) d (a) + r ∫ q f (a) d (a) |
Thuộc tính 4 | p ∫ q f (a) d (a) = p ∫ q f (p + q – a) d (a) |
Thuộc tính 5 | o ∫ p f (a) d (a) = o ∫ p f (p – a) d (a) |
Thuộc tính 6 | ∫ 0 2p f (a) da = ∫ 0 p f (a) da + ∫ 0 p f (2p-a) da… nếu f (2p-a) = f (a) |
Thuộc tính 7 | 2 phần
|
Tài sản 8 | 2 phần
|
Các thuộc tính của Chứng minh tích phân xác định
Tính chất 1: p ∫ q f (a) da = p ∫ q f (t) dt
Đây là tính chất đơn giản nhất vì chỉ cần thay a bằng t và thu được kết quả mong muốn.
Tính chất 2: p ∫ q f (a) d (a) = – q ∫ p f (a) d (a), Ngoài ra p ∫ p f (a) d (a) = 0
Giả sử I = p ∫ q f (a) d (a)
Nếu f ‘là phản đạo hàm của f, thì sử dụng định lý cơ bản thứ hai của giải tích, để có I = f’ (q) -f ‘(p) = – [f’ (p) – f ‘(q)] = – q ∫ p (a) da. Ngoài ra, nếu p = q, thì I = f ‘(q) -f’ (p) = f ‘(p) -f’ (p) = 0. Do đó, a ∫ a f (a) da = 0.
Tính chất 3: p ∫ q f (a) d (a) = p ∫ r f (a) d (a) + r ∫ q f (a) d (a)
Nếu f ‘là phản đạo hàm của f, thì sử dụng định lý cơ bản thứ hai của giải tích, để được;
p ∫ q f (a) da = f ‘(q) -f’ (p)… (1)
p ∫ r f (a) da = f ‘(r) – f’ (p)… (2)
r ∫ q f (a) da = f ‘(q) – f’ (r)… (3)
Hãy cộng các phương trình (2) và (3), để có được
p ∫ r f (a) daf (a) da + r ∫ q f (a) daf (a) da = f ‘(r) – f’ (p) + f ‘(q)
= f ‘(q) – f’ (p) = p ∫ q f (a) da
Tính chất 4: p ∫ q f (a) d (a) = p ∫ q f (p + q – a) d (a)
Đặt, t = (p + qa) hoặc a = (p + q – t), sao cho dt = – da… (4)
Ngoài ra, lưu ý rằng khi a = p, t = q và khi a = q, t = p. Vì vậy, p ∫ q sẽ được thay thế bởi q ∫ p khi chúng ta thay thế a bằng t. Vì thế,
p ∫ q f (a) da = – q ∫ p f (p + qt) dt… từ phương trình (4)
Từ tính chất 2, ta biết rằng p ∫ q f (a) da = – q ∫ p f (a) da. Sử dụng thuộc tính này, để có được
p ∫ q f (a) da = p ∫ q f (p + qt) da
Bây giờ sử dụng thuộc tính 1 để lấy
p ∫ q f (a) da = p ∫ q f (p + q – a) da
Thuộc tính 5: ∫p0f (a) và = ∫p0f (pa) da
Đặt, t = (pa) hoặc a = (p – t), sao cho dt = – da… (5)
Ngoài ra, hãy quan sát rằng khi a = 0, t = p và khi a = p, t = 0. Vì vậy, ∫p0 sẽ được thay thế bởi ∫pOkhi chúng ta thay thế a bằng t. Vì thế,
∫p0f (a) da = – ∫0pf (p – t) da… từ phương trình (5)
Từ Thuộc tính 2, chúng tôi biết rằng ∫qpf (a) da = –∫pqf (a) da. Sử dụng thuộc tính này, chúng tôi nhận được
∫p0f (a) và = ∫p0f (pt) dt
Tiếp theo, sử dụng Thuộc tính 1, chúng tôi nhận được
∫a0f (a) và = ∫p0f (p – a) da
Thuộc tính 6: ∫2 p0f (a) và = ∫p0f (a) và + ∫p0f (2p – a)) da
Từ thuộc tính 3, chúng tôi biết rằng
∫qpf (a) và = ∫rpf (a) và + ∫qrcung điện
Vì thế, ∫2 p0f (a) và = ∫p0f (a) và + ∫2 ppf (a) da = I 1 + I 2 … (6)
Ở đâu, tôi 1 =∫p0f (a) da và I 2 =∫2 ppcung điện
Đặt, t = (2p – a) hoặc a = (2p – t), sao cho dt = -da… (7)
Ngoài ra, lưu ý rằng khi a = p, t = p và khi a = 2p, t = 0. Do đó, ∫0akhi chúng ta thay thế a bằng t. Vì thế,
Tôi 2 =∫2 ppf (a) da = – ∫0pf (2p-0) da… từ phương trình (7)
Từ Thuộc tính 2, chúng tôi biết rằng ∫qpf (a) da = – ∫pqf (a) da. Sử dụng thuộc tính này, chúng tôi nhận được I 2 =∫p0f (2p-t) dt
Tiếp theo, sử dụng Thuộc tính 1, chúng tôi nhận được
Tôi 2 =∫a0f (a) và + ∫a0f (2p-a) da
Thay giá trị của I 2 vào phương trình (6), ta được
∫2 p0f (a) và = ∫p0f (a) và + ∫pOf (2p – a) da
Thuộc tính 7: ∫2 a0f (a) da = 2 ∫a0f (a) da… nếu f (2p – a) = f (a) và
∫2 a0f (a) da = 0… nếu f (2p- a) = -f (a)
Chúng ta biết rằng
∫2 p0f (a) và =∫p0f (a) và + ∫p0f (2p – a) da… (8)
Bây giờ, nếu f (2p – a) = f (a), thì phương trình (8) trở thành
∫2 p0f (a) và = ∫p0f (a) và + ∫p0cung điện
= 2∫p0cung điện
Và, nếu f (2p – a) = – f (a), thì phương trình (8) trở thành
∫2 p0f (a) và = ∫p0f (a) da –∫p0f (a) da = 0
Thuộc tính 8: ∫p– pf (a) da = 2∫p0f (a) da… nếu f (-a) = f (a) hoặc nó là một hàm chẵn và ∫a– mộtf (a) da = 0,… nếu f (-a) = -f (a) hoặc nó là một hàm lẻ.
Sử dụng Thuộc tính 3, chúng tôi có
∫p– pf (a) và = ∫0– mộtf (a) và + ∫p0f (a) da = I 1 + I, 2 … (9)
Ở đâu, tôi 1 =∫0– mộtf (a) da, I 2 =∫p0cung điện
Coi tôi là 1
Đặt, t = -a hoặc a = -t, sao cho dt = -dx… (10)
Ngoài ra, quan sát rằng khi a = -p, t = p, khi a = 0, t = 0. Vì thế,∫0– một sẽ được thay thế bởi ∫0akhi chúng ta thay thế a bằng t. Vì thế,
Tôi 1 =∫0– mộtf (a) da = – ∫0af (-a) da… từ phương trình (10)
Từ Thuộc tính 2, chúng tôi biết rằng∫qpf (a) da = – ∫pqf (a) da, sử dụng thuộc tính này để lấy,
Tôi 1 =∫0– pf (a) và = ∫p0cung điện
Tiếp theo, sử dụng Thuộc tính 1, chúng tôi nhận được
Tôi 1 =∫0– pf (a) và = ∫p0cung điện
Thay giá trị của I 2 vào phương trình (9), ta được
∫p– pf (a) da = I 1 + I 2 =∫p0f (-a) và + ∫p0f (a) da = 2 ∫p0f (a) và… (11)
Bây giờ, nếu ‘f’ là một hàm chẵn, thì f (- a) = f (a). Do đó, phương trình (11) trở thành
∫p– pf (a) và = ∫p0f (a) và +∫p0f (a) da = 2∫p0cung điện
Và, nếu ‘f’ là một hàm lẻ thì f (–a) = – f (a). Do đó, phương trình (11) trở thành
∫p– pf (a) da = – ∫a0f (a) và + ∫p0f (a) da = 0
Bây giờ, chúng ta hãy đánh giá Tích phân xác định thông qua một bài toán tổng.
Thí dụ
Câu 1: Đánh giá∫2– 1f (a 3 – a) da
Giải: Quan sát thấy rằng, (a 3 – a) ≥ 0 trên [- 1, 0], ( 3 – a) ≤ 0 trên [0, 1] và (a 3 – a) ≥ 0 trên [1, 2]
Do đó, bằng cách sử dụng Thuộc tính 3, chúng ta có thể viết
∫2– 1f (a 3 – a) da =∫0– 1f (a 3 – a) da +∫10f- (a 3 – a) da +∫21f (a 3 – a) da =∫0– 1f (a 3 – a) da +∫10f (a – a 3 ) da +∫21f (a 3 – a) da
∫0– 1f (a 3 – a) da +∫10f (a – a 3 ) da +∫21f (a 3 – a) da
Giải các tích phân, chúng ta nhận được
∫2– 1f( a 3 – a ) da =x 44– (x 22) ] – 10 + [ (x 22– (x 44) ) 01 + [x 44– (x 22) ] 12= – [14 – 12] + [ – 14] + [4 – 2] – [14 –12 = 114
Câu hỏi 2:
Chứng minh rằng 0 ∫ π / 2 (2log sinx – log sin 2x) dx = – (π / 2) log 2 bằng cách sử dụng các tính chất của tích phân xác định
Giải pháp:
Để chứng minh: 0 ∫ π / 2 (2log sinx – log sin 2x) dx = – (π / 2) log 2
Bằng chứng:
Giả sử I = 0 ∫ π / 2 (2log sinx – log sin 2x) dx… (1)
Bằng cách sử dụng tính chất của tích phân xác định
0 ∫ a f (x) dx = 0 ∫ a f (ax) dx
Bây giờ, áp dụng thuộc tính trong (1), chúng tôi nhận được
I = 0 ∫ π / 2 2log sin [(π / 2) -x] – log sin 2 [(π / 2) -x]) dx
Biểu thức trên có thể được viết dưới dạng
I = 0 ∫ π / 2 [2log cosx- log sin (π-2x)] dx (Vì, sin (90-θ = cos θ)
I = 0 ∫ π / 2 [2log cosx- log sin2x] dx .. (2)
Bây giờ, thêm phương trình (1) và (2), chúng ta nhận được
I + I = 0 ∫ π / 2 [(2log sinx – log sin 2x) + (2log cosx- log sin2x)] dx
2I = 0 ∫ π / 2 [2log sinx -2log 2sinx + 2log cos x] dx
2I = 2 0 ∫ π / 2 [log sinx -log 2sinx + log cos x] dx
Bây giờ, hủy bỏ 2 ở cả hai bên, chúng tôi nhận được
I = 0 ∫ π / 2 [log sinx + log cos x- log 2sinx] dx
Bây giờ, áp dụng thuộc tính logarit, chúng ta nhận được
I = 0 ∫ π / 2 log [(sinx. Cos x) / sin2x] dx
Ta biết rằng sin2x = 2 sinx cos x)
Bây giờ, biểu thức tích phân có thể được viết dưới dạng
I = 0 ∫ π / 2 log [(sinx. Cos x) / (2 sinx cos x)] dx
Hủy các số hạng phổ biến ở cả tử số và mẫu số, sau đó chúng tôi nhận được
I = 0 ∫ π / 2 log (1/2) dx
Nó có thể được viết là
I = 0 ∫ π / 2 (log1-log 2) dx [Vì, log (a / b) = log a- log b]
I = 0 ∫ π / 2 -log 2 dx (giá trị của log 1 = 0)
Bây giờ, lấy hằng số – log 2 bên ngoài tích phân,
I = -log 2 0 ∫ π / 2 dx
Bây giờ, tích hợp chức năng
I = -log 2 [x] 0 π / 2
Bây giờ, thay thế các giới hạn
I = -log 2 [(π / 2) -0]
I = – log 2 (π / 2)
I = – (π / 2) log 2 = RHS
Do đó, LH S = RHS
Vì thế. 0 ∫ π / 2 (2log sinx – log sin 2x) dx = – (π / 2) log 2 được chứng minh.
Các câu hỏi thường gặp về các thuộc tính của tích phân xác định
Xác định tích phân xác định
Tích phân xác định được định nghĩa là một tích phân có hai giới hạn xác định gọi là giới hạn trên và giới hạn dưới. Tích phân xác định của một hàm thường đại diện cho vùng dưới đường cong từ giá trị giới hạn thấp hơn đến giá trị giới hạn cao hơn.
Các tính chất khác nhau của tích phân xác định là gì?
Một số thuộc tính quan trọng của tích phân xác định là:
Thêm thuộc tính hàm
Thêm thuộc tính
khoảng Khoảng thuộc tính có độ dài bằng 0
Đảo ngược thuộc tính khoảng
Khu vực trên – khu vực dưới thuộc tính
Sự khác biệt giữa tích phân xác định và tích phân không xác định là gì?
Tích phân xác định f (x) là một số xác định diện tích dưới các đường cong trong các giới hạn xác định. Nó có giới hạn trên và giới hạn dưới và nó đưa ra câu trả lời chắc chắn. Trong khi đó, tích phân bất định f (x) là một hàm và nó không có giới hạn trên và dưới. Nó đưa ra lời giải cho câu hỏi “hàm nào tạo ra f (x) khi nó được phân biệt?”.
Đề cập đến bốn khái niệm quan trọng được đề cập trong giải tích?
Các khái niệm cơ bản nhất quan trọng trong việc tính toán là:
Chức năng
Giới hạn
Integral
phái sinh
Xác định tích phân xác định của một hàm số?
Tích phân xác định của một hàm trên khoảng [a, b] được định nghĩa là hiệu số của hàm đối của hàm đã cho, được tính cho giới hạn trên của tích phân trừ cận dưới của tích phân.
Xem thêm:
Khái niệm và các loại phản ứng xà phòng hóa