Cổng Thông Tin Đại Học, Cao Đẳng Lớn Nhất Việt Nam

Thuộc tính của tích phân xác định là gì? Xem xong 5 phút hiểu luôn.

KHOA Y DƯỢC HÀ NỘI

Thẳng tiến vào đại học chỉ với: Điểm lớp 12 Từ 6,5 Điểm thi từ 18 năm 2021

Chúng ta sẽ tìm hiểu một số tính chất quan trọng của tích phân xác định và cách chứng minh chúng trong bài viết này để hiểu rõ hơn. Tích phân là ước lượng của một tích phân. Nó chỉ là một quá trình khác biệt đối lập. Tích phân trong toán học được sử dụng để tìm nhiều đại lượng hữu ích như diện tích, thể tích, độ dời, … Có hai loại Tích phân là tích phân xác định và tích phân bất định . Ở đây, chúng ta sẽ tìm hiểu về tích phân xác định và các tính chất của nó, sẽ giúp giải các bài toán tích phân dựa trên chúng.

Lãi và lỗ theo tỉ lệ phần trăm

Định nghĩa tích phân xác định

Nếu một tích phân có giới hạn trên và giới hạn dưới, nó được gọi là Tích phân xác định. Có nhiều công thức và tính chất tích phân xác định. Tích phân xác định là hiệu giữa các giá trị của tích phân ở giới hạn trên và giới hạn dưới xác định của biến độc lập. Nó được đại diện là;

∫ b f (x) dx

Thuộc tính tích phân xác định

Dưới đây là danh sách các tích phân xác định dưới dạng bảng rất dễ đọc và dễ hiểu.

Tính chất Sự miêu tả
Thuộc tính 1 p ∫ q  f (a) da = p ∫ q  f (t) dt
Thuộc tính 2 p ∫ q f (a) d (a) = – q ∫ p  f (a) d (a), Ngoài ra p ∫ p  f (a) d (a) = 0
Thuộc tính 3 p ∫  f (a) d (a) = p ∫ r  f (a) d (a) + r ∫ q  f (a) d (a)
Thuộc tính 4 p ∫ q f (a) d (a) = p ∫ q  f (p + q – a) d (a)
Thuộc tính 5 o ∫ p f (a) d (a) = o ∫ p  f (p – a) d (a)
Thuộc tính 6 ∫ 2p f (a) da = ∫  f (a) da + ∫  f (2p-a) da… nếu f (2p-a) = f (a)
Thuộc tính 7 2 phần

  • ∫  f (a) da = 2∫ a f (a) da… nếu f (2p-a) = f (a)
  • ∫  pf (a) da = 0… nếu f (2p-a) = -f (a)
Tài sản 8 2 phần

  • ∫ -p  f (a) da = 2∫ p f (a) da… nếu f (-a) = f (a) hoặc đó là một hàm chẵn
  • ∫ -p p f (a) da = 0… nếu f (2p-a) = -f (a) hoặc đó là một hàm lẻ

Các thuộc tính của Chứng minh tích phân xác định

Tính chất 1: p ∫ q  f (a) da = p ∫ q  f (t) dt

Đây là tính chất đơn giản nhất vì chỉ cần thay a bằng t và thu được kết quả mong muốn.

 

Tính chất 2: p ∫ q f (a) d (a) = – q ∫ p  f (a) d (a), Ngoài ra p ∫ p  f (a) d (a) = 0

Giả sử I = p ∫ q f (a) d (a)

Nếu f ‘là phản đạo hàm của f, thì sử dụng định lý cơ bản thứ hai của giải tích, để có I = f’ (q) -f ‘(p) = – [f’ (p) – f ‘(q)] = – q ∫ p (a) da. Ngoài ra, nếu p = q, thì I = f ‘(q) -f’ (p) = f ‘(p) -f’ (p) = 0. Do đó, a ∫ a f (a) da = 0.

 

Tính chất 3: p ∫  f (a) d (a) = p ∫ r  f (a) d (a) + r ∫ q  f (a) d (a)

Nếu f ‘là phản đạo hàm của f, thì sử dụng định lý cơ bản thứ hai của giải tích, để được;

p ∫  f (a) da = f ‘(q) -f’ (p)… (1)

p ∫ r f (a) da = f ‘(r) – f’ (p)… (2)

r ∫ q f (a) da = f ‘(q) – f’ (r)… (3)

Hãy cộng các phương trình (2) và (3), để có được

p ∫  f (a) daf (a) da + r ∫  f (a) daf (a) da = f ‘(r) – f’ (p) + f ‘(q)

= f ‘(q) – f’ (p) = p ∫  f (a) da

 

Tính chất 4: p ∫ q f (a) d (a) = p ∫ q  f (p + q – a) d (a)

Đặt, t = (p + qa) hoặc a = (p + q – t), sao cho dt = – da… (4)

Ngoài ra, lưu ý rằng khi a = p, t = q và khi a = q, t = p. Vì vậy, p ∫ q sẽ được thay thế bởi q ∫ p khi chúng ta thay thế a bằng t. Vì thế,

p ∫  f (a) da = – q ∫  f (p + qt) dt… từ phương trình (4)

Từ tính chất 2, ta biết rằng p ∫  f (a) da = – q ∫  f (a) da. Sử dụng thuộc tính này, để có được

p ∫  f (a) da = p ∫  f (p + qt) da

Bây giờ sử dụng thuộc tính 1 để lấy

p ∫  f (a) da = p ∫  f (p + q – a) da

 

Thuộc tính 5: p0f (a) và = p0f (pa) da

Đặt, t = (pa) hoặc a = (p – t), sao cho dt = – da… (5)

Ngoài ra, hãy quan sát rằng khi a = 0, t = p và khi a = p, t = 0. Vì vậy, p0 sẽ được thay thế bởi pOkhi chúng ta thay thế a bằng t. Vì thế,

p0f (a) da = – 0pf (p – t) da… từ phương trình (5)

Từ Thuộc tính 2, chúng tôi biết rằng qpf (a) da = –pqf (a) da. Sử dụng thuộc tính này, chúng tôi nhận được

p0f (a) và = p0f (pt) dt

Tiếp theo, sử dụng Thuộc tính 1, chúng tôi nhận được

a0f (a) và = p0f (p – a) da

 

Thuộc tính 6: p0f (a) và = p0f (a) và + p0f (2p – a)) da

Từ thuộc tính 3, chúng tôi biết rằng

qpf (a) và = rpf (a) và + qrcung điện

Vì thế, p0f (a) và = p0f (a) và + ppf (a) da = I 1 + I 2 … (6)

Ở đâu, tôi 1 =p0f (a) da và I 2 =ppcung điện

Đặt, t = (2p – a) hoặc a = (2p – t), sao cho dt = -da… (7)

Ngoài ra, lưu ý rằng khi a = p, t = p và khi a = 2p, t = 0. Do đó, 0akhi chúng ta thay thế a bằng t. Vì thế,

Tôi 2 =ppf (a) da = – 0pf (2p-0) da… từ phương trình (7)

Từ Thuộc tính 2, chúng tôi biết rằng qpf (a) da = – pqf (a) da. Sử dụng thuộc tính này, chúng tôi nhận được I 2 =p0f (2p-t) dt

Tiếp theo, sử dụng Thuộc tính 1, chúng tôi nhận được

Tôi 2 =a0f (a) và + a0f (2p-a) da

Thay giá trị của I 2 vào phương trình (6), ta được

p0f (a) và = p0f (a) và + pOf (2p – a) da

 

Thuộc tính 7: a0f (a) da = 2 a0f (a) da… nếu f (2p – a) = f (a) và

a0f (a) da = 0… nếu f (2p- a) = -f (a)

Chúng ta biết rằng

p0f (a) và =p0f (a) và + p0f (2p – a) da… (8)

Bây giờ, nếu f (2p – a) = f (a), thì phương trình (8) trở thành

p0f (a) và = p0f (a) và + p0cung điện

= 2p0cung điện

Và, nếu f (2p – a) = – f (a), thì phương trình (8) trở thành

p0f (a) và = p0f (a) da –p0f (a) da = 0

 

Thuộc tính 8: p– pf (a) da = 2p0f (a) da… nếu f (-a) = f (a) hoặc nó là một hàm chẵn và a– mộtf (a) da = 0,… nếu f (-a) = -f (a) hoặc nó là một hàm lẻ.

Sử dụng Thuộc tính 3, chúng tôi có

p– pf (a) và = 0– mộtf (a) và + p0f (a) da = I 1 + I, 2 … (9)

Ở đâu, tôi 1 =0– mộtf (a) da, I 2 =p0cung điện

Coi tôi là 1

Đặt, t = -a hoặc a = -t, sao cho dt = -dx… (10)

Ngoài ra, quan sát rằng khi a = -p, t = p, khi a = 0, t = 0. Vì thế,0– một sẽ được thay thế bởi 0akhi chúng ta thay thế a bằng t. Vì thế,

Tôi 1 =0– mộtf (a) da = – 0af (-a) da… từ phương trình (10)

Từ Thuộc tính 2, chúng tôi biết rằngqpf (a) da = – pqf (a) da, sử dụng thuộc tính này để lấy,

Tôi 1 =0– pf (a) và = p0cung điện

Tiếp theo, sử dụng Thuộc tính 1, chúng tôi nhận được

Tôi 1 =0– pf (a) và = p0cung điện

Thay giá trị của I 2 vào phương trình (9), ta được

p– pf (a) da = I 1 + I 2 =p0f (-a) và + p0f (a) da = 2 p0f (a) và… (11)

Bây giờ, nếu ‘f’ là một hàm chẵn, thì f (- a) = f (a). Do đó, phương trình (11) trở thành

p– pf (a) và = p0f (a) và +p0f (a) da = 2p0cung điện

Và, nếu ‘f’ là một hàm lẻ thì f (–a) = – f (a). Do đó, phương trình (11) trở thành

p– pf (a) da = – a0f (a) và + p0f (a) da = 0

Bây giờ, chúng ta hãy đánh giá Tích phân xác định thông qua một bài toán tổng.

Thí dụ

Câu 1: Đánh giá2– 1f (a 3 – a) da

Giải: Quan sát thấy rằng, (a 3 – a) ≥ 0 trên [- 1, 0], ( 3 – a) ≤ 0 trên [0, 1] và (a 3 – a) ≥ 0 trên [1, 2]

Do đó, bằng cách sử dụng Thuộc tính 3, chúng ta có thể viết

2– 1f (a 3 – a) da =0– 1f (a 3 – a) da +10f- (a 3 – a) da +21f (a 3 – a) da =0– 1f (a 3 – a) da +10f (a – a 3 ) da +21f (a 3 – a) da

0– 1f (a 3 – a) da +10f (a – a 3 ) da +21f (a 3 – a) da

Giải các tích phân, chúng ta nhận được

2– 1f– d=44– (22– 10 (22– (4401 [44– (2212= – [14 – 12] + [ – 14] + [4 – 2] – [14 –12 = 114

Câu hỏi 2:

Chứng minh rằng 0 ∫ π / 2 (2log sinx – log sin 2x) dx = – (π / 2) log 2 bằng cách sử dụng các tính chất của tích phân xác định

Giải pháp:

Để chứng minh: 0 ∫ π / 2  (2log sinx – log sin 2x) dx = – (π / 2) log 2

Bằng chứng:

Giả sử I = 0 ∫ π / 2  (2log sinx – log sin 2x) dx… (1)

Bằng cách sử dụng tính chất của tích phân xác định

0 ∫ a f (x) dx = 0 ∫ a  f (ax) dx

Bây giờ, áp dụng thuộc tính trong (1), chúng tôi nhận được

I = 0 ∫ π / 2  2log sin [(π / 2) -x] – log sin 2 [(π / 2) -x]) dx

Biểu thức trên có thể được viết dưới dạng

I = 0 ∫ π / 2  [2log cosx- log sin (π-2x)] dx (Vì, sin (90-θ = cos θ)

I = 0 ∫ π / 2  [2log cosx- log sin2x] dx .. (2)

Bây giờ, thêm phương trình (1) và (2), chúng ta nhận được

I + I = 0 ∫ π / 2  [(2log sinx – log sin 2x) + (2log cosx- log sin2x)] dx

2I =  0 ∫ π / 2  [2log sinx -2log 2sinx + 2log cos x] dx

2I = 2 0 ∫ π / 2  [log sinx -log 2sinx + log cos x] dx

Bây giờ, hủy bỏ 2 ở cả hai bên, chúng tôi nhận được

I = 0 ∫ π / 2  [log sinx + log cos x- log 2sinx] dx

Bây giờ, áp dụng thuộc tính logarit, chúng ta nhận được

I = 0 ∫ π / 2 log [(sinx. Cos x) / sin2x] dx

Ta biết rằng sin2x = 2 sinx cos x)

Bây giờ, biểu thức tích phân có thể được viết dưới dạng

I = 0 ∫ π / 2 log [(sinx. Cos x) / (2 sinx cos x)] dx

Hủy các số hạng phổ biến ở cả tử số và mẫu số, sau đó chúng tôi nhận được

I = 0 ∫ π / 2  log (1/2) dx

Nó có thể được viết là

I = 0 ∫ π / 2  (log1-log 2) dx [Vì, log (a / b) = log a- log b]

I = 0 ∫ π / 2  -log 2 dx (giá trị của log 1 = 0)

Bây giờ, lấy hằng số – log 2 bên ngoài tích phân,

I = -log 2 0 ∫ π / 2 dx

Bây giờ, tích hợp chức năng

I = -log 2 [x] π / 2

Bây giờ, thay thế các giới hạn

I = -log 2 [(π / 2) -0]

I = – log 2 (π / 2)

I = – (π / 2) log 2 = RHS

Do đó, LH S = RHS

Vì thế. 0 ∫ π / 2  (2log sinx – log sin 2x) dx = – (π / 2) log 2 được chứng minh.

Các câu hỏi thường gặp về các thuộc tính của tích phân xác định

Xác định tích phân xác định

Tích phân xác định được định nghĩa là một tích phân có hai giới hạn xác định gọi là giới hạn trên và giới hạn dưới. Tích phân xác định của một hàm thường đại diện cho vùng dưới đường cong từ giá trị giới hạn thấp hơn đến giá trị giới hạn cao hơn.

Các tính chất khác nhau của tích phân xác định là gì?

Một số thuộc tính quan trọng của tích phân xác định là:
Thêm thuộc tính hàm
Thêm thuộc tính
khoảng Khoảng thuộc tính có độ dài bằng 0
Đảo ngược thuộc tính khoảng
Khu vực trên – khu vực dưới thuộc tính

Sự khác biệt giữa tích phân xác định và tích phân không xác định là gì?

Tích phân xác định f (x) là một số xác định diện tích dưới các đường cong trong các giới hạn xác định. Nó có giới hạn trên và giới hạn dưới và nó đưa ra câu trả lời chắc chắn. Trong khi đó, tích phân bất định f (x) là một hàm và nó không có giới hạn trên và dưới. Nó đưa ra lời giải cho câu hỏi “hàm nào tạo ra f (x) khi nó được phân biệt?”.

Đề cập đến bốn khái niệm quan trọng được đề cập trong giải tích?

Các khái niệm cơ bản nhất quan trọng trong việc tính toán là:
Chức năng
Giới hạn
Integral
phái sinh

Xác định tích phân xác định của một hàm số?

Tích phân xác định của một hàm trên khoảng [a, b] được định nghĩa là hiệu số của hàm đối của hàm đã cho, được tính cho giới hạn trên của tích phân trừ cận dưới của tích phân.

Xem thêm:

Khái niệm và các loại phản ứng xà phòng hóa

5 mẫu Mở bài Chí Phèo hay nhất

5 mẫu Phân tích Chiếc thuyền ngoài xa

0 0 votes
Article Rating
Theo dõi
Thông báo của
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Khoa Y Dược Hà Nội tuyển sinh chính quy

Bài viết mới nhất

Thi trắc nghiệm online
0
Would love your thoughts, please comment.x
()
x