∫f (x) dx = F (x) + C
Ở đây RHS của phương trình có nghĩa là tích phân của f (x) đối với x.
F (x) được gọi là phản đạo hàm hay nguyên hàm.
f (x) được gọi là tích phân.
dx được gọi là tác nhân tích phân.
C được gọi là hằng số tích phân hoặc hằng số tùy ý.
x là biến của tích phân.
Các chống dẫn xuất của các hàm cơ bản đã được chúng ta biết đến. Tích phân của các hàm này có thể dễ dàng thu được. Nhưng kỹ thuật tích phân này chỉ giới hạn trong các hàm cơ bản và để xác định tích phân của các hàm khác nhau, người ta sử dụng các phương pháp tích phân khác nhau . Trong số các phương pháp tích hợp này, chúng ta hãy thảo luận về tích hợp bằng cách thay thế.
Tích hợp theo phương pháp thay thế
Trong phương pháp tích phân này, bất kỳ tích phân đã cho nào được chuyển thành dạng tích phân đơn giản bằng cách thay biến độc lập bởi các tích phân khác.
Lấy ví dụ một phương trình có biến độc lập trong x, tức là ———————– (i),∫không có(x3) .3x2. dx
Trong phương trình đã cho ở trên, biến độc lập có thể được chuyển thành một biến khác, chẳng hạn như t.
Thay thế ———————- (ii)x3= t
Sự khác biệt của phương trình trên sẽ cho-
3x2. dx = dt ———————- (iii)
Thay giá trị của (ii) và (iii) vào (i), chúng ta có
∫không có(x3) .3x2. dx = ∫không cót . dt
Như vậy tích phân của phương trình trên sẽ cho
∫không cót . dt = – cost + c
Một lần nữa đặt lại giá trị của t từ phương trình (ii), chúng ta nhận được
∫không có(x3) .3x2. dx = – cos(x3) + c
Hình thức chung của tích hợp bằng cách thay thế là:
∫f( g( x ) ) .g′( x ) . dx = f( t ) . dt ,
trong đó t = g (x)
Thông thường, phương pháp tích phân bằng cách thay thế cực kỳ hữu ích khi chúng ta thực hiện phép thay thế cho một hàm mà đạo hàm của nó cũng có trong tích phân. Làm như vậy, hàm sẽ đơn giản hóa và sau đó các công thức tích phân cơ bản có thể được sử dụng để tích hợp hàm. Để hiểu rõ hơn khái niệm này, chúng ta hãy xem xét một ví dụ.
Ngoài ra, hãy đọc:
- Tích hợp theo các bộ phận
- Tích hợp các hàm lượng giác
- Quy tắc tích hợp
Ví dụ đã giải quyết
| Thí dụ:
Tìm tích phân của∫erám nắng– 1x1 +x2. dx . Giải pháp: Cho trước ∫erám nắng– 1x1 +x2. dx Cho ……………. (I)t =rám nắng– 1x ⇒ dt =11 +x2. dx Tôi= ∫et. dt =et+ C (ii) Thay giá trị của (i) vào (ii), chúng ta có Tôi=erám nắng– 1x+ C Thí dụ: Tích với x.2 x cos(x2– 5 ) Giải pháp: Tôi= ∫2 x cos(x2– 5 ) . dx Cho ……………. (I)x2– 5 = t ⇒ 2 x . dx = dt Thay thế các giá trị này, chúng ta có Tôi= ∫cos( t ) . dt = không cót + C …………… .. (ii) Thay giá trị của (i) vào (ii), chúng ta có = không có(x2– 5 ) + C Đây là tích hợp bắt buộc cho chức năng đã cho. |
