Contents
Giải phương trình vi phân
Lời giải của một phương trình vi phân – Nói chung và riêng sẽ sử dụng tích phân trong một số bước để giải nó. Chúng ta sẽ học cách giải một phương trình vi phân với sự trợ giúp của các ví dụ đã giải. Đồng thời học đến lời giải tổng quát cho phương trình vi phân cấp một và cấp hai. Trước tiên hãy để chúng tôi hiểu để giải quyết một trường hợp đơn giản ở đây:
Xét phương trình sau: 2x 2 – 5x – 7 = 0. Nghiệm của phương trình này là một số tức là -1 hoặc 7/2 thỏa mãn phương trình trên. Có nghĩa là đặt giá trị của biến x là -1 hoặc 7/2, chúng ta nhận được Vế trái (LHS) bằng Vế phải (RHS) tức là 0. Nhưng trong trường hợp của phương trình vi phân, nghiệm là a hàm thỏa mãn phương trình vi phân đã cho. Điều đó có nghĩa là chúng ta cần phân biệt phương trình đã cho trước và sau đó tìm nghiệm cho nó. Các phương trình vi phân được kiểm tra có dạng y ‘= / (x, y) (phương trình bậc cao hơn có thể được rút gọn thành phương trình bậc nhất). Hàm f được coi là giải tích trong một vùng lân cận đủ lớn của điểm ban đầu (x 0 , y0 ).
Các mặt của một tam giác là gì? Xem xong 5 phút hiểu luôn.
Lời giải chung của một phương trình vi phân
Khi hằng số tùy ý của nghiệm tổng quát nhận một giá trị duy nhất nào đó thì nghiệm đó trở thành nghiệm riêng của phương trình.
Bằng cách sử dụng các điều kiện biên (còn được gọi là điều kiện ban đầu), nghiệm cụ thể của một phương trình vi phân sẽ thu được.
Vì vậy, để có được một giải pháp cụ thể, trước hết, một giải pháp chung được tìm ra và sau đó, bằng cách sử dụng các điều kiện đã cho, giải pháp cụ thể được tạo ra.
Giả sử,
dy / dx = e x + cos2x + 2x 3
Sau đó, chúng tôi biết, giải pháp chung là:
y = e x + sin2x / 2 + x 4/2 + C
Bây giờ, x = 0, y = 5 thay giá trị này vào nghiệm tổng quát, chúng ta nhận được,
5 = e 0 + sin (0) / 2 + (0) 4/2 + C
C = 4
Do đó, thay giá trị của C vào dung dịch chung ta thu được,
y = e x + sin2x / 2 + x 4/2 + 4
Điều này đại diện cho nghiệm cụ thể của phương trình đã cho.
Giải pháp chung cho Đơn hàng đầu tiên và Đơn hàng thứ hai
Nếu chúng ta phải giải một phương trình vi phân bậc nhất bằng phương pháp tách biến, chúng ta cần phải đề cập đến một hằng số tùy ý trước khi chúng ta bắt đầu thực hiện tích phân. Do đó, chúng ta có thể thấy rằng một nghiệm của phương trình vi phân cấp một có ít nhất một hằng số tùy ý cố định sau khi đơn giản hóa.
Phương trình vi phân có thể tách biến: Các phương trình vi phân được biểu diễn dưới dạng (x, y) chẳng hạn như số hạng x và số hạng y có thể được sắp xếp theo các vế khác nhau của phương trình (bao gồm cả số hạng delta). Vì vậy, mỗi biến sau khi tách có thể được tích hợp dễ dàng để tìm nghiệm của phương trình vi phân. Các phương trình có thể được viết dưới dạng:
f (x) dx + g (y) dy = 0 , trong đó f (x) và g (y) lần lượt là hằng số hoặc hàm của x và y.
Tương tự, nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp hai sẽ bao gồm hai hằng số tùy ý cố định, v.v. Giải pháp tổng quát giải thích một cách hình học nhóm tham số m của các đường cong.
Giải pháp cụ thể của một phương trình vi phân
Giải pháp cụ thể là một nghiệm của phương trình vi phân được lấy từ Giải pháp chung bằng cách phân bổ các giá trị cụ thể cho các hằng số ngẫu nhiên. Các yêu cầu để xác định giá trị của hằng số ngẫu nhiên có thể được trình bày cho chúng tôi dưới dạng Bài toán giá trị ban đầu hoặc Điều kiện biên, tùy thuộc vào truy vấn.
Giải pháp số ít
Lời giải Đơn của một phương trình vi phân đã cho cũng là một loại Lời giải Cụ thể nhưng nó không thể được lấy từ Lời giải Tổng quát bằng cách chỉ định các giá trị của các hằng số ngẫu nhiên.
Ví dụ về phương trình vi phân
Ví dụ : dy / dx = x 2
Lời giải: dy = x 2 dx
Tích hợp cả hai bên, chúng tôi nhận được
⇒ ∫dy= ∫x2dx
Nếu chúng ta giải phương trình này để tìm ra giá trị của y, chúng ta nhận được
y = x 3 /3 + C
trong đó C là một hằng số tùy ý.
Trong nghiệm thu được ở trên, chúng ta thấy rằng y là một hàm của x . Khi thay giá trị này của y vào phương trình vi phân đã cho, cả hai vế của phương trình vi phân trở nên bằng nhau.
Các vấn đề thực hành về phương trình vi phân với các giải pháp
Giải pháp thu được ở trên sau khi tích phân bao gồm một hàm và một hằng số tùy ý. Điều này đại diện cho một nghiệm tổng quát của phương trình đã cho.
Hãy để giải pháp được biểu diễn dưới dạng y= ϕ ( x ) + C. Nó biểu diễn đường cong nghiệm hoặc đường cong tích phân của phương trình vi phân đã cho.
Vì vậy, chúng ta có thể nói rằng một giải pháp tổng quát luôn bao gồm một C không đổi.
Hãy để chúng tôi xem xét một số ví dụ khác :
Các ví dụ đã giải quyết
Để có cái nhìn sâu sắc hơn về chủ đề này, chúng ta hãy xem ví dụ sau.
Ví dụ – Tìm nghiệm cụ thể của phương trình vi phân ln dy / dx = e 4y + ln x , cho rằng x = 0, y = 0 .
Lời giải – dy / dx = e 4y + ln x
dy / dx = e 4y × e ln x
dy / dx = e 4y × x
1 / e 4y dy = x dx
e -4y dy = x dx
Tích cả hai vế đối với y và x tương ứng, chúng ta nhận được,
e – 4 y / – 4 = x 2 / 2 +C
Điều này đại diện cho nghiệm tổng quát của phương trình vi phân đã cho.
Bây giờ, người ta cũng cho rằng y ( 0 ) = 0 , thay giá trị này vào giải pháp tổng quát ở trên, chúng ta nhận được,
e 0 / – 4 = 0 2 / 2 +C
⇒ C = – 1/ 4
Do đó, phương trình trên có thể được viết lại thành
e – 4 y / – 4 = x 2 / 2 – 1 4
⇒ e – 4 y = – 2 x 2 + 1
⇒ ln( e – 4 y ) = ln( 1 – 2 x 2 )
⇒ – 4 y = ln( 1 – 2 x 2 )
⇒ y = – ln( 1 – 2 x 2 ) / 4
đó là nghiệm cụ thể của phương trình vi phân đã cho.
Xem thêm:
