Sự tiến triển Harmonic là gì?
Một cấp số hài (HP) được định nghĩa là một dãy số thực được xác định bằng cách lấy nghịch đảo của cấp số cộng không chứa 0. Trong cấp tiến điều hòa, bất kỳ số hạng nào trong dãy được coi là phương tiện hài hòa của hai số lân cận của nó . Ví dụ, dãy số a, b, c, d,… được coi là một cấp số cộng; tiến trình điều hòa có thể được viết dưới dạng 1 / a, 1 / b, 1 / c, 1 / d,…
Trung bình hài: Giá trị trung bình hài được tính bằng nghịch đảo của trung bình cộng của các nghịch đảo. Công thức tính giá trị trung bình điều hòa được đưa ra bởi:
Harmonic Mean = n / [(1 / a) + (1 / b) + (1 / c) + (1 / d) +….]
Ở đâu,
a, b, c, d là các giá trị và n là số giá trị có mặt.
Công thức lũy tiến hài hòa
Để giải các bài toán về cấp số cộng, ta nên tìm tổng cấp số cộng tương ứng. Có nghĩa là số hạng thứ n của cấp tiến điều hòa bằng nghịch đảo của số hạng thứ n của AP tương ứng Như vậy, công thức tìm số hạng thứ n của dãy cấp tiến điều hòa được đưa ra là:
Số hạng thứ n của Tiến trình hài (HP) = 1 / [a + (n-1) d]
Ở đâu
“A” là thuật ngữ đầu tiên của AP
“D” là sự khác biệt chung
“N” là số thuật ngữ trong AP
Công thức trên cũng có thể được viết dưới dạng:
Số hạng thứ n của HP = 1 / (số hạng thứ n của AP tương ứng)
|
Tổng tiến trình hài
Nếu 1 / a, 1 / a + d, 1 / a + 2d,…., 1 / a + (n-1) d là cấp tiến điều hòa, công thức tìm tổng của n số hạng trong cấp tiến điều hòa được cho bởi công thức:
Tổng của n số hạng, Sn=1dl n {2 a + ( 2 n – 1 ) d2 a – d}
Ở đâu,
“A” là thuật ngữ đầu tiên của AP
“D” là điểm khác biệt chung của AP
“Ln” là lôgarit tự nhiên
Mối quan hệ giữa AP, GP và HP
Với hai số bất kỳ, nếu AM, GM, HM lần lượt là Trung bình số học, Hình học và Điều hòa, thì mối quan hệ giữa ba số này được cho bởi:
- GM 2 = AM × HM, trong đó AM, GM, HM ở GP
- AM ≥ GM ≥ HM
Ví dụ về tiến trình hài
Ở đây, các vấn đề đã giải quyết về tiến trình điều hòa được đưa ra.
Ví dụ 1:
Xác định số hạng thứ 4 và thứ 8 của lũy thừa điều hòa 6, 4, 3,…
Giải pháp:
Được:
HP = 6, 4, 3
Bây giờ, chúng ta hãy lấy cấp số cộng từ HP đã cho
AP = ⅙, ¼, ⅓,….
Ở đây, T 2 -T 1 = T 3 -T 2 = 1/12 = d
Vì vậy, để tìm số hạng thứ 4 của A. P, hãy sử dụng công thức,
Số hạng thứ n của AP = a + (n-1) d
Ở đây, a = ⅙, d = 1/12
Bây giờ, chúng ta phải tìm số hạng thứ 4.
Vì vậy, lấy n = 4
Bây giờ hãy đặt các giá trị vào công thức.
Số hạng thứ 4 của AP = (⅙) + (4-1) (1/12)
= (⅙) + (3/12)
= (⅙) + (¼)
= 5/12
Tương tự,
Số hạng thứ 8 của AP = (⅙) + (8-1) (1/12)
= (⅙) + (7/12)
= 9/12
Vì HP là nghịch đảo của một AP, chúng ta có thể viết các giá trị là:
Số hạng thứ 4 của HP = 1/4 Số hạng thứ 4 của AP = 12/5
Số hạng thứ 8 của HP = 1/8 Số hạng thứ 8 của AP = 12/9 = 4/3
Ví dụ 2:
Tính số hạng thứ 16 của HP nếu số hạng thứ 6 và số hạng 11 của HP lần lượt là 10 và 18.
Giải pháp:
HP được viết dưới dạng AP được đưa ra dưới đây:
Số hạng thứ 6 của AP = a + 5d = 1/10 —- (!)
Số hạng thứ 11 của AP = a + 10d = 1/18 …… (2)
Bằng cách giải hai phương trình này, chúng ta nhận được
a = 13/90 và d = -2 / 225
Để tìm số hạng thứ 16, chúng ta có thể viết biểu thức dưới dạng,
a + 15d = (13/90) – (2/15) = 1/90
Như vậy, số hạng thứ 16 của HP = 1/16 số hạng thứ 16 của AP = 90
Do đó, số hạng thứ 16 của HP là 90.
Thực hành các vấn đề về tiến triển hài
Giải các bài toán thực hành về tiến trình điều hòa được cung cấp dưới đây:
- Số hạng thứ hai và số hạng thứ năm của lũy tiến điều hòa là 3/14 và 1/10. Tính tổng của số hạng thứ 6 và số hạng thứ 7 của dãy số.
- Tổng các số nghịch biến của 11 số hạng đầu tiên trong dãy cấp tiến điều hòa là 110. Xác định 6 số hạng của dãy cấp tiến điều hòa.
Xem thêm:
