Tính toán phương trình bậc hai dễ hiểu nhất chưa đầy 1 phút

Tính toán phương trình bậc hai – Phương pháp & Ví dụ

Bạn có bất kỳ ý tưởng nào về nhân tử của đa thức ? Vâng, vì bây giờ bạn đã có một số thông tin cơ bản về đa thức là gì, do đó chúng ta sẽ tìm hiểu cách giải đa thức bậc hai bằng cách phân tích nhân tử.

Trước hết, chúng ta cùng tìm hiểu sơ qua về phương trình bậc hai . Phương trình bậc hai là một đa thức bậc hai thường ở dạng f (x) = ax ²  + bx + c trong đó a, b, c, ∈ R và a ≠ 0. Thuật ngữ ‘a’ được gọi là bậc nhất hệ số, trong khi ‘c’ được gọi là số hạng tuyệt đối của f (x).

Mọi phương trình bậc hai đều có hai giá trị của biến số chưa biết thường được gọi là nghiệm nguyên của phương trình (α, β). Các nghiệm nguyên của phương trình bậc hai có thể thu được bằng cách tính thừa số của phương trình.

Vì lý do này, thừa số hóa là một bước cơ bản để giải bất kỳ phương trình nào trong toán học. Hãy cùng tìm hiểu.

Làm thế nào để thừa số một phương trình bậc hai?

Tính toán một phương trình bậc hai có thể được định nghĩa là quá trình chia nhỏ phương trình thành tích các thừa số của nó. Nói cách khác, chúng ta cũng có thể nói rằng thừa số hóa là mặt trái của việc nhân ra.

Để giải phương trình bậc hai ax ²  + bx + c = 0 bằng cách phân tích, các bước sau được sử dụng:

• Mở rộng biểu thức và xóa tất cả các phân số nếu cần.
• Di chuyển tất cả các số hạng sang phía bên trái của dấu bằng.
• Xác định phương trình bằng cách chia nhỏ số hạng giữa.
• Công bằng mỗi yếu tố bằng 0 và giải phương trình tuyến tính

ví dụ 1

Giải ra: 2 (x ²  + 1) = 5x

Giải pháp

Mở rộng phương trình và chuyển tất cả các số hạng sang bên trái của dấu bằng.

⟹ 2x ²  – 5x + 2 = 0

⟹ 2x ²  – 4x – x + 2 = 0

⟹ 2x (x – 2) – 1 (x – 2) = 0

⟹ (x – 2) (2x – 1) = 0

Cho mỗi thừa số bằng 0 và giải

⟹ x – 2 = 0 hoặc 2x – 1 = 0

⟹ x = 2 hoặc x = 1212

Do đó, các nghiệm là x = 2, 1/2.

Ví dụ 2

Giải 3x ² – 8x – 3 = 0

Giải pháp

3x ²  – 9x + x – 3 = 0

⟹ 3x (x – 3) + 1 (x – 3) = 0

⟹ (x – 3) (3x + 1) = 0

⟹ x = 3 hoặc x = -13

Ví dụ 3

Giải phương trình bậc hai sau (2x – 3) ²  = 25

Giải pháp

Khai triển phương trình (2x – 3) ²  = 25 để được;

⟹ 4x ² – 12x + 9 – 25 = 0

⟹ 4x ²  – 12x – 16 = 0

Chia mỗi số hạng cho 4 để được;

⟹ x ²  – 3x – 4 = 0

⟹ (x – 4) (x + 1) = 0

⟹ x = 4 hoặc x = -1

Có rất nhiều phương pháp phân tích nhân tử. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ nhấn mạnh vào cách tính hệ số của phương trình bậc hai, trong đó hệ số của x ²  là 1 hoặc lớn hơn 1.

Do đó, chúng tôi sẽ sử dụng phương pháp thử và sai để có được các thừa số đúng cho phương trình bậc hai đã cho.

Xem thêm bài viết:

Yếu tố chung lớn nhất – Cách tìm ra nhân tố chung lớn nhất

Các loại số trong toán học cho người chưa rõ

Bao thanh toán khi Hệ số của x ² là 1

Để phân tích một phương trình bậc hai có dạng x ² + bx + c, trong đó hệ số đứng đầu là 1. Bạn cần xác định hai số có tích và tổng tương ứng là c và b.

TRƯỜNG HỢP 1: Khi b và c đều dương

Ví dụ 4

Giải phương trình bậc hai: x ²  + 7x + 10 = 0

Liệt kê các yếu tố của 10:

1 × 10, 2 × 5

Xác định hai thừa số với tích là 10 và tổng của 7:

1 + 10 ≠ 7
2 + 5 = 7.

Xác minh các yếu tố bằng cách sử dụng thuộc tính  phân phối của phép nhân.

(x + 2) (x + 5) = x ²  + 5x + 2x + 10 = x ²  + 7x + 10

Các thừa số của phương trình bậc hai là: (x + 2) (x + 5)

Cân bằng mỗi yếu tố với 0 sẽ cho;

x + 2 = 0 ⟹x = -2

x + 5 = 0 ⟹ x = -5

Do đó, nghiệm là x = – 2, x = – 5

Ví dụ 5

x ² + 10x + 25.

Giải pháp

Xác định hai thừa số với tích của 25 và tổng của 10.

5 × 5 = 25 và 5 + 5 = 10

Xác minh các yếu tố.

x ² + 10x + 25 = x ² + 5x + 5x + 25

= x (x + 5) + 5x + 25

= x (x + 5) + 5 (x + 5)

= (x + 5) (x + 5)

Do đó, x = -5 là đáp số.

TRƯỜNG HỢP 2: Khi b dương và c âm

Ví dụ 6

Giải ra x ²  + 4x – 5 = 0

Giải pháp

Viết các thừa số của -5.

1 × –5, –1 × 5

Xác định các thừa số có tích là – 5 và tổng là 4.

1 – 5 ≠ 4
–1 + 5 = 4

Xác minh các yếu tố bằng cách sử dụng thuộc tính phân phối.

(x – 1) (x + 5) = x ²  + 5x – x – 5 = x ²  + 4x – 5
(x – 1) (x + 5) = 0

x – 1 = 0 ⇒ x = 1 hoặc
x + 5 = 0 ⇒ x = -5

Do đó, x = 1, x = -5 là các nghiệm.

TRƯỜNG HỢP 3: Khi b và c đều âm

Ví dụ 7

x ²  – 5x – 6

Giải pháp

Viết ra các thừa số của – 6:

1 × –6, –1 × 6, 2 × –3, –2 × 3

Bây giờ xác định các yếu tố có tích là -6 và tổng là –5:

1 + (–6) = –5

Kiểm tra các yếu tố bằng cách sử dụng thuộc tính phân phối.

(x + 1) (x – 6) = x ²  – 6 x + x – 6 = x ²  – 5x – 6

Công bằng mỗi thừa số với 0 và giải quyết để có được;
(x + 1) (x – 6) = 0

x + 1 = 0 ⇒ x = -1 hoặc
x – 6 = 0 ⇒ x = 6

Do đó, nghiệm là x = 6, x = -1

TRƯỜNG HỢP 4: Khi b âm và c dương

Ví dụ 8

x ²  – 6x + 8 = 0

Giải pháp

Viết ra tất cả các thừa số của 8.

–1 × – 8, –2 × –4

Xác định các thừa số có tích là 8 và tổng là -6
–1 + (–8) ≠ –6
–2 + (–4) = –6

Kiểm tra các yếu tố bằng cách sử dụng thuộc tính phân phối.

(x – 2) (x – 4) = x ²  – 4 x – 2x + 8 = x ²  – 6x + 8

Bây giờ cân bằng mỗi thừa số với 0 và giải biểu thức để có được;

(x – 2) (x – 4) = 0

x – 2 = 0 ⇒ x = 2 hoặc
x – 4 = 0 ⇒ x = 4

Ví dụ 9

Nhân tử x ² + 8x + 12.

Giải pháp

Viết các thừa số của 12;

12 = 2 × 6 hoặc = 4 × 3
Tìm các thừa số có tổng là 8:

2 + 6 = 8
2 × 6 ≠ 8

Sử dụng thuộc tính phân phối để kiểm tra các yếu tố;

= x ² + 6x + 2x + 12 = (x ² + 6x) + (2x + 12) = x (x + 6) +2 (x + 6)

= x (x + 6) +2 (x + 6) = (x + 6) (x + 2)

Công bằng mỗi yếu tố với 0 để nhận được;

(x + 6) (x + 2)

x = -6, -2

Bao thanh toán khi hệ số của x ² lớn hơn 1

Đôi khi, hệ số hàng đầu của phương trình bậc hai có thể lớn hơn 1. Trong trường hợp này, chúng ta không thể giải phương trình bậc hai bằng cách sử dụng các thừa số chung.

Do đó chúng ta cần xét hệ số của x ²  và các thừa số của c để tìm các số có tổng là b.

Ví dụ 10

Giải 2x ²  – 14x + 20 = 0

Giải pháp

Xác định các thừa số chung của phương trình.

2x ²  – 14x + 20 ⇒ 2 (x ²  – 7x + 10)

Bây giờ chúng ta có thể tìm thừa số của (x ²  – 7x + 10). Do đó, hãy viết ra các hệ số của 10:

–1 × –10, –2 × –5

Xác định các thừa số có tổng là – 7:

1 + (–10) ≠ –7
–2 + (–5) = –7

Kiểm tra các yếu tố bằng cách áp dụng thuộc tính phân phối.

2 (x – 2) (x – 5) = 2 (x ²  – 5 x – 2x + 10)
= 2 (x ²  – 7x + 10) = 2x ²  – 14x + 20

Công bằng mỗi thừa số với 0 và giải quyết;
2 (x – 2) (x – 5) = 0

x – 2 = 0 ⇒ x = 2 hoặc
x – 5 = 0 ⇒ x = 5

Ví dụ 11

Giải ra 7x ²  + 18x + 11 = 0

Giải pháp

Viết ra thừa số của cả 7 và 11.

7 = 1 × 7

11 = 1 × 11

Áp dụng thuộc tính phân phối để kiểm tra các yếu tố như hình dưới đây:

(7x + 1) (x + 11) ≠ 7x ²  + 18x + 11

(7x + 11) (x + 1) = 7x ²  + 7x + 11x + 11 = 7x ²  + 18x + 11

Bây giờ đánh đồng từng thừa số với 0 và giải quyết để lấy;

7x ²  + 18x + 11 = 0
(7x + 11) (x + 1) = 0

x = -1, -11/7

Ví dụ 12

Giải 2x ²  – 7x + 6 = 3

Giải pháp

2x ²  – 7x + 3 = 0

(2x – 1) (x – 3) = 0

x = 1/2 hoặc x = 3

Ví dụ 13

Giải quyết 9x ² + 6x + 1 = 0

Giải pháp

Dữ kiện để đưa ra:

(3x + 1) (3x + 1) = 0

(3x + 1) = 0,

Do đó, x = −1 / 3

Ví dụ 14

Thừa số 6x ² – 7x + 2 = 0

Giải pháp

6x ²  – 4x – 3x + 2 = 0

Thừa số hóa biểu thức;

⟹ 2x (3x – 2) – 1 (3x – 2) = 0

⟹ (3x – 2) (2x – 1) = 0

⟹ 3x – 2 = 0 hoặc 2x – 1 = 0

⟹ 3x = 2 hoặc 2x = 1

⟹ x = 2/3 hoặc x = ½

Ví dụ 15

Thừa số x ²  + (4 – 3y) x – 12y = 0

Giải pháp

Mở rộng phương trình;

x ²  + 4x – 3xy – 12y = 0

Cơ sở hóa;

⟹ x (x + 4) – 3y (x + 4) = 0

x + 4) (x – 3y) = 0

⟹ x + 4 = 0 hoặc x – 3y = 0

⟹ x = -4 hoặc x = 3y

Do đó, x = -4 hoặc x = 3y

Xem thêm:

Cách nhận ra tam thức vuông hoàn hảo siêu nhanh

Phương pháp tìm các yếu tố chung mới nhất 2021

Câu hỏi thực hành

Giải các phương trình bậc hai sau bằng cách phân tích:

1. 3x ² – 20 = 160 – 2x ²
2. (2x – 3) ² = 49
3. 16x ²  = 25
4. (2x + 1) ² + (x + 1) ² = 6x + 47
5. 2x ² + x – 6 = 0
6. 3x ² = x + 4
7. (x – 7) (x – 9) = 195
8. x ² – (a + b) x + ab = 0
9. x ² + 5 x  + 6 = 0
10. x ² – 2 x  – 15 = 0

Câu trả lời

1. 6, -6
2. -2, 5
3. – 5/4, 5/4
4. -3, 3
5. -2, 3/2
6. -1, 4/3
7. -6, 22
8. a, b
9. –3, –2
10. 5, – 3