Cách giải công thức bậc hai nhanh gọn dễ hiểu nhất

Công thức bậc hai – Giải thích & Ví dụ

Đến đây bạn đã biết cách giải phương trình bậc hai bằng các phương pháp như hoàn thành bình phương, hiệu của một bình phương và công thức tam thức bậc hai.

Trong bài này, chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu cách giải phương trình bậc hai bằng hai phương pháp là căn thức bậc hai và phương pháp đồ thị . Trước khi đi sâu vào chủ đề này, chúng ta hãy nhớ lại phương trình bậc hai là gì.

Phương trình bậc hai là gì?

Phương trình bậc hai trong toán học được định nghĩa là một đa thức bậc hai có dạng chuẩn là ax ² + bx + c = 0, trong đó a, b và c là các hệ số và a ≠ 0.

Thuật ngữ bậc hai có nghĩa là, ít nhất một số hạng trong phương trình được nâng lên thành lũy thừa của hai. Trong một phương trình bậc hai, biến x là một giá trị chưa biết, mà chúng ta cần tìm nghiệm.

Ví dụ về phương trình bậc hai là: 6x² + 11x – 35 = 0, 2x² – 4x – 2 = 0, 2x² – 64 = 0, x² – 16 = 0, x² – 7x = 0, 2x² + 8x = 0, v.v. Từ các ví dụ này , bạn có thể lưu ý rằng, một số phương trình bậc hai thiếu thuật ngữ “c” và “bx”.

Làm thế nào để sử dụng công thức bậc hai?

Giả sử ax ² + bx + c = 0 là phương trình bậc hai chuẩn của chúng ta, chúng ta có thể suy ra công thức bậc hai bằng cách hoàn thành bình phương như hình dưới đây.

Cô lập số hạng c sang vế phải của phương trình

ax ² + bx = -c

Chia mỗi số hạng cho a.

x ² + bx / a = -c / a

Biểu thị dưới dạng một hình vuông hoàn hảo
x ² + b x / a + (b / 2a) ² = – c / a + (b / 2a) ²

(x + b / 2a) ² = (-4ac + b ² ) / 4a ²

(x + b / 2a) = ± √ (-4ac + b ² ) / 2a

x = – b / 2a ± √ (b ² – 4ac) / 2a

x = [- b ± √ (b ² – 4ac)] / 2a ………. (Đây là công thức bậc hai)

Sự hiện diện của cộng (+) và trừ (-) trong công thức bậc hai ngụ ý rằng có hai nghiệm, chẳng hạn như:

x ₁ = (-b + √b2 – 4ac) / 2a

VÀ,

x ₂ = (-b – √b2 – 4ac) / 2a

Hai giá trị trên của x được gọi là nghiệm của phương trình bậc hai. Căn của phương trình bậc hai phụ thuộc vào bản chất của phân thức. Phân thức là một phần của căn thức bậc hai ở dạng b  ²  – 4 ac. Một phương trình bậc hai có hai nghiệm thực khác nhau nếu là nghiệm phân biệt.

Khi giá trị của phân thức bằng 0 thì phương trình sẽ chỉ có một nghiệm nguyên hoặc một nghiệm. Và, nếu số phân biệt là âm, thì phương trình bậc hai không có căn thực.

Làm thế nào để giải phương trình bậc hai?

Hãy giải một vài ví dụ về các bài toán sử dụng công thức bậc hai.

ví dụ 1

Sử dụng công thức bậc hai để tìm nghiệm nguyên của x ² -5x + 6 = 0.

Giải pháp

So sánh phương trình với dạng tổng quát ax ² + bx + c = 0 cho ta,

a = 1, b = -5 và c = 6

b ² – 4ac = (-5) 2 – 4 × 1 × 6 = 1

Thay thế các giá trị trong công thức bậc hai

x ₁ = (-b + √b2-4ac) / 2a

⇒ (5 + 1) / 2

= 3

x ₂ = (-b – √b2-4ac) / 2a

⇒ (5 – 1) / 2

= 2

Ví dụ 2

Giải phương trình bậc hai dưới đây bằng công thức bậc hai:

3x ²  + 6x + 2 = 0

Giải pháp

So sánh bài toán với dạng tổng quát của phương trình bậc hai ax ²  + bx + c = 0 cho,

a = 3, b = 6 và c = 2

x = [- b ± √ (b ² – 4ac)] / 2a

⇒ [- 6 ± √ (6 ² – 4 * 3 * 2)] / 2 * 3

⇒ [- 6 ± √ (36- 24)] / 6

⇒ [- 6 ± √ (12)] / 6

x ₁ = (-6 + 2√3) / 6

⇒ – (2/3) √3

x ₂ = (-6– 2√3) / 6

⇒ – (4/3) √3

Ví dụ 3

Giải ra 5x ² + 6x + 1 = 0

Giải pháp

So sánh với phương trình bậc hai, chúng ta nhận được,

a = 5, b = 6, c = 1

Bây giờ áp dụng công thức bậc hai:

x = −b ± √ (b ² – 4ac) 2a

Thay các giá trị của a, b và c

⇒ x = −6 ± √ (6 ² – 4 × 5 × 1) 2 × 5

⇒ x = −6 ± √ (36 – 20) 10

⇒ x = −6 ± √ (16) 10

⇒ x = −6 ± 410

⇒ x = – 0,2, −1

Ví dụ 4

Giải ra 5x ² + 2x + 1 = 0

Giải pháp

Các hệ số là;

a = 5, b = 2, c = 1

Trong trường hợp này, số phân biệt là âm:

b ² – 4ac = 2 ² – 4 × 5 × 1

= −16

Bây giờ áp dụng công thức bậc hai;

x = (−2 ± √ −16) / 10

⇒√ (−16) = 4

Trong đó tôi là số ảo √ − ​​1

⇒x = (−2 ± 4i) / 10

Do đó, x = −0,2 ± 0,4i

Ví dụ 5

Giải ra x ² – 4x + 6.25 = 0

Giải pháp

Theo dạng chuẩn của phương trình bậc hai ax ²  + bx + c = 0, chúng ta có thể nhận thấy rằng;

a = 1, b = −4, c = 6,25

Xác định các phân biệt.

b ² – 4ac = (−4) ² – 4 × 1 × 6,25

= −9 ………………. (phân biệt đối xử tiêu cực)

⇒ x = – (- 4) ± √ (−9) / 2

⇒ √ (−9) = 3i; trong đó tôi là số ảo √ − ​​1

⇒ x = (4 ± 3i) / 2

Do đó, x = 2 ± 1,5i

Làm thế nào để vẽ đồ thị một phương trình bậc hai?

Để vẽ đồ thị một phương trình bậc hai, dưới đây là các bước làm theo:

• Cho một phương trình bậc hai, hãy viết lại phương trình bằng cách cho nó thành y hoặc f (x)
• Chọn các giá trị tùy ý của x và y để vẽ đường cong
• Bây giờ vẽ đồ thị của hàm.
• Đọc gốc nơi đường cong cắt hoặc chạm vào trục x.

Giải phương trình bậc hai bằng đồ thị

Vẽ đồ thị là một phương pháp giải phương trình bậc hai. Nghiệm của phương trình nhận được bằng cách đọc các giao điểm x của đồ thị.

Có ba khả năng xảy ra khi giải phương trình bậc hai bằng phương pháp đồ thị:

• Phương trình có một nghiệm hoặc nghiệm nếu giao điểm x của đồ thị là 1.
• Một phương trình có hai nghiệm có 2 nghiệm x
• Nếu không có giao thức x thì phương trình không có nghiệm thực.

Hãy vẽ đồ thị một vài ví dụ về phương trình bậc hai. Trong những ví dụ này, chúng tôi đã vẽ đồ thị của mình bằng phần mềm vẽ đồ thị, nhưng để bạn hiểu rất rõ bài học này, hãy vẽ đồ thị của bạn theo cách thủ công.

ví dụ 1

Giải phương trình x ²  + x – 3 = 0 bằng phương pháp đồ thị

Giải pháp

Các giá trị tùy ý của chúng tôi được hiển thị trong bảng dưới đây:

Các giao điểm x là x =  1,3 và  x =  –2,3. Do đó, nghiệm nguyên của phương trình bậc hai là x = 1,3 và x = –2,3

Ví dụ 2

Giải phương trình 6x – 9 – x ²  = 0.

Giải pháp

Chọn các giá trị tùy ý của x.

Đường cong tiếp xúc với trục x tại x = 3. Do đó, 6 x  – 9 –  x ²  = 0 có một nghiệm (x = 3).

Ví dụ 3

Giải phương trình x ²  + 4x + 8 = 0 bằng phương pháp đồ thị.

Giải pháp

Chọn các giá trị tùy ý của x.

Trong ví dụ này, đường cong không chạm hoặc cắt trục x. Do đó, phương trình bậc hai x ²  + 4x + 8 = 0 không có nghiệm nguyên nào.

Xem thêm:

Cách giải một phương trình nhanh gọn trong vòng 1 nốt nhạc

Làm thế nào để nhân chéo hiệu quả nhất

Câu hỏi thực hành

Giải các phương trình bậc hai sau đây bằng cả công thức bậc hai và phương pháp đồ thị:

1. x ² – 3x −10 = 0
2. x ² + 3x + 4 = 0
3. x ² −7x + 12 = 0
4. x ² + 14x + 45 = 0
5. 9 + 7x = 7x ²
6. x ² + 4x + 4 = 0
7. x ² – 9x + 14 = 0
8. 2x ² – 3x = 0
9. 4𝑥 ² – 4𝑥 + 5 = 0
10. 4𝑥 ² – 8𝑥 + 1 = 0
11. x ² + 4x – 12 = 0
12. 10x ² + 7x – 12 = 0
13. 10 + 6x – x ² = 0
14. 2x ² + 8x – 25 = 0
15. x ² + 5x – 6 = 0
16. 3x ² – 27x + 9
17. 15 – 10x – x ²
18. 5x ² + 10x + 15
19. 24 + 12x – 2x ²
20. x ² −12x + 35 = 0